Главная→Порошки→Практическое применение интегралов. Интегральное исчисление

Практическое применение интегралов. Интегральное исчисление

Отдел образования гомельского городского

Исполнительного комитета

Государственное учреждение образования

«Гимназия №71 г. Гомеля»

Конкурсной работы

«Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab»

Исполнитель: Орехова Ксения Ивановна,

учащаяся 9Б класса

Руководитель: Горский Сергей Михайлович,

учитель информатики

Государственного учреждения образования

«Гимназия №71 г. Гомеля»

Введение

1. История интегрального и дифференциального исчисления

2. Дифференциал в физике

3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

4. Дифференциальные уравнения

5. Примеры решения задач в matlab

Список использованных источников

Введение

Факультативный курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» имеет своей целью изучение курса математического анализа на основе практического освещения материала, на основе использования методов данного раздела математики для решения задач геометрии и физики; а так же реализации этих задач на компьютере (с помощью пакета MATLAB).

В результате можно сказать, что такое объёмное, не конкретное формулирование темы и цели факультативного курса даёт возможным его реализацию в школе. В школьном курсе алгебры и начал анализа курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» направлен на изучение определённого интеграла.

Место темы в школьном курсе математики .

Факультативный курс «Применение интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» углубляет материал курса алгебры и начал анализа в одиннадцатом классе и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс математики. Это темы «Производная функции», «Определённый интеграл» в алгебре, и некоторые темы в геометрии и физике. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.

Развитию у учащихся правильных представлений о характере отражения алгеброй основных элементов в геометрии и физике, роли математического моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией различных математических задач на компьютере. Изложение факультативного курса базируется на основных возможностях версии 6.1 пакета математических и инженерных вычислений MATLAB, ставшего в настоящее время стандартным средством поддержки изучения высшей математики, численного анализа и других учебных курсов во многих университетах. Учащимся излагаются основные возможности численных и символьных вычислений, программирования и визуализации результатов, предоставляемые ядром системы MATLAB и его пакета расширения SymbolicMathToolbox.

Основные понятия факультативного курса : определённый интеграл, длина кривой, площадь, поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, объём тела и др.

Цели факультативного курса.

1. Обучающие : провести практическое закрепление по теме «Определённый интеграл», познакомить учащихся с пакетом математических и инженерных вычислений MATLAB 6.1, проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.

2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач с использованием компьютера, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики.

3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности, развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).

Программа:

Построение астроиды

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

h=300; figure("Units","Pixels","position",

xlabel("x"); ylabel("y");

axis([-3, 3, -3, 3]);

% Поверхность вращения

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

Meshgrid(t,v);

set(hFigure,"Color",);

set(hAxes,"Color",);

xlabel("x"); ylabel("y"); zlabel("z");

hPlot=plot(X,Y);

set(hPlot,"LineWidth",5)

set(hPlot,"Color",)

Задача 5. Построить в полярных координатах лемнискату Бернулли: .

Программа:

for p=0:pi/60:2*pi

if 2*a^2*cos(2*p)>=0

set(hFigure,"Color",);

hP=polar(phi,r);

set(hP,"LineWidth",2);

Результат (рис. 17):

Задача 6. Используя численные и символьные вычисления в MATLAB найти: а) определённый интеграл; б) двойной интеграл; в) поверхностный интеграл (1-го рода).

а) Классической задачей численного анализа является задача о вычислении определённых интегралов. Из всех методов вычисления определённых интегралов самым простым, но в то же время довольно успешно применяемым является метод трапеции. В MATLAB для этого метода предусмотрена функция: trapz(x,y) (команда edit trapz позволяет вывести текст этой функции). Одномерный массив х (вектор) содержит дискретные значения аргументов подынтегральной функции. Значения подынтегральной функции в этих точках сосредоточены в одномерном массиве y. Чаще всего для интегрирования выбирают равномерную сетку, то есть значения элементов массива х отстоят друг от друга на одну и ту же величину – шаг интегрирования. Точность вычисления интеграла зависит от величины шага интегрирования: чем меньше этот шаг, тем больше точность.

Задача 7. Вычислить интеграл методом трапеции с различными шагами интегрирования (для наблюдения 14 десятичных цифр после запятой нужно предварительно ввести и исполнить команду formatlong).

Программа: Результат:

functiont=trap(dx)

y=sin(x).*exp(-x);

t=trapz(x,y); >> format long

ans = 0.42255394026468

>> trap(0.1)

ans = 0.50144886299125

>> trap(0.01)

ans = 0.50226667654901

>> trap(0.001)

ans = 0.50227485744814

Метод трапеций является очень универсальным методом и хорошо подходит интегрирования не слишком гладких функций. Если же функция под знаком интеграла является гладкой (существуют и непрерывны несколько первых производных), то лучше применять методы интегрирования более высоких порядков точности. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов.

В системе МАТLАВ методы интегрирования более высоких порядков точноcти реализуются функциями quad (метод Симпсона) и quad8 (метод Ньютона-Котеса 8-го порядка точности). Оба этих метода являются к тому же адаптивными . Последнее означает, что пользователю нет необходимости контролировать достигнутую точность результата путем сравнения последовательных значении, соответствующих разным шагам интегрирования. Все это указанные данные функции выполняют самостоятельно.

У функции quad8 более высокий порядок точности по сравнению с функцией quad, что очень хорошо для гладких функций, так как обеспечивается более высокая точность результата при большем шаге интегрирования (меньшем объеме отчислений). Однако функция quad может иметь не меньшее, а даже большее быстродействие для не слишком гладких функций (разрывны или велики по абсолютной величине вторая или третья производные). В любом случае обе эти функции по умолчанию обеспечивают одинаковую относительную точность результата, равную 0.001.

Как и многие другие функции системы МАТLАВ, функции quad и quad8 могут принимать различное количество параметров. Минимальный формат вызова этих функций включает в себя три параметра: имя подынтегральной функции, нижний предел интегрирования и верхний предел интегрирования. Если применяется четвертый параметр, то он является требуемой относительной точностью результата вычислений. Кстати, если обе эти адаптивные функции не могут обеспечить получение необходимой точности (расходящийся или близкий к этому интеграл), то они возвращают символическую бесконечность Inf.

Для вычисления определённых интегралов символьными методами можно использовать два варианта решения: напрямую или по этапам (с подстановкой символьных чисел).

Задача 8. Вычислить определённый интеграл .

Программа: Результат:

a1=sym("0"); b1=sym("2");

% 1 способ: работа с подстановкой символьных чисел

symbol=int(w,"t",a,b)

symbol2a=subs(symbol,,)

number=vpa(symbol2a)

% 2 способ: работа с символьными числами

symbol2b=int(w,"t",a1,b1) symbol =

2.6666666666666666667

Задача 9. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением астроиды вокруг оси Ox : . (поверхность визуализирована в задаче 2).

Программа: Результат:

t1=sym("0"); t2=sym("pi/2"); a=sym("1");

x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;

f=y.*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);

symbol=simplify(int(4*pi*f,"t",t1,t2))

number=vpa(symbol) symbol =

б) Двойные интегралы сводятся к вычислению повторных определённых интегралов, один из которых является внутренним, а другой внешним. Внутренний интеграл является подынтегральной функцией для внешнего интеграла. Можно было бы для численных вычислений написать некоторую цепочку вычислений, в которой многократные вычисления подынтегральной функции сводились бы к многократным вызовам функции quad. Однако нет необходимости делать это самостоятельно, так как в системе MATLAB для этого имеется специальная функция dblquad.

Задача 8. Вычислить интеграл , где .

Программа:

Результат:

function z=fof(x,y)

z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> format long

>> dblquad("fof",0,1,1,2)

1.16777110966887

Задача 9. С помощью символьных вычислений получить следующие интегралы , , , , , где .

Программа:

z=sym("x*sin(y)+y*sin(x)");

i2=int(z,"x",0,1)

i3=int(int(z,"x"),"y")

i4=int(int(z,"x",1,2),"y",0,1)

i5=int(int(x+y,"y",x,1),"x",0,1) i1 =

1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x)

1/2*sin(y)-y*cos(1)+y

1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x)

1/2*cos(2)-cos(1)+3/2

Так как символьные вычисления не дают погрешности метода вычисления и сами по себе они более точные, то можно увидеть, что функция dblquad даёт точный результат до 7 знака после запятой.

в) Из высшей математики известно, что к определенным и двойным интегралам могут быть сведены многие другие типы интегралов, например поверхностный интеграл 1-го рода. Так как при его нахождении используется дифференцирование под знаком интеграла, то использовать численные вычисления некорректно.

Задача 10. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: , где S – часть плоскости , лежащая в первом октанте (по теореме 2).

Программа: Результат:

fun=subs(f2,z,f1)

d=1+diff(f1,x)^2+diff(f1,y)^2

syms x1 x2 y1 y2

intpov1=int(int(fun*sqrt(d),"y",y1,y2),"x",x1,x2)

number=vpa(intpov1) fun =

Задача 11. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода , где S - сфера (по теореме 3).

Сначала создадим функцию, описывающую поверхность по которой происходит интегрирование:

function =pov;

syms x y z u v a

x=a*sin(u)*cos(v);

y=a*sin(u)*sin(v);

Программа:

syms x y z u v a

f=sym("x^2+y^2");

E=diff(x0,"u")^2+diff(y0,"u")^2+diff(z0,"u")^2;

G=diff(x0,"v")^2+diff(y0,"v")^2+diff(z0,"v")^2;

F=diff(x0,"u")*diff(x0,"v")+diff(y0,"u")*

diff(y0,"v")+diff(z0,"u")*diff(z0,"v");

W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,,);

syms u1 u2 v1 v2

intpov=p*int(int(f2,"v",v1,v2),"u",u1,u2)

intpov2=simplify(intpov)

number=vpa(intpov2)

int=subs(intpov2,a,b) intpov =

4/3*a^2*pi*(a^4)^(1/2)*4^(1/2)

8/3*a^4*pi*csgn(a^2)

8.377580412*a^4*csgn(a^2)

Примечание. Функция сsgn является специфической в MATLAB. Она не может быть введена пользователем и возникает только при оперировании с функцией simplify (упрощение символьных выражений). Например:

>> syms a t

>> t=csgn(a^2)*a^2

Undefined function or variable "csgn".

>> simplify((a^4)^(1/2))

>> simplify((a^8)^(1/4))

>> simplify((a^9)^(1/3))

1. Ануфриев, И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.х / И.Е. Ануфриев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 736 с.

2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман, И.Г. Араманович, А.Ф. Бермант и др. - М.: Наука, 1966. - 456 с.

3. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - М.: Наука, 1966. - 736 с.

4. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MatLab / А. Гультяев. - СПб.: Питер, 2001. - 553 с.

5. Демидович, Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б.П. Демидович, Г.С. Бараненков, В.А. Ефименко и др. - М.: Наука, 1966. - 472 с.

6. Лазарев, Ю.Ф. MatLab 5.х / Ю.Ф. Лазарев. - Киев: BHV, 2000. - 388 с.

7. Мартынов, Н.Н. Matlab 5.х: вычисления, визуализация, программирование / Н.Н. Мартынов, А.П. Иванов. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. - 336 с.

8. Куринной, Г.Ч. Математика: Справочник / Г.Ч. Куринной. - Харьков: Фолио; Ростов на Дону: Феникс, 1997. - 463 с.

9. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов в 2 томах / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1966. - 2 т. - 312 с.

10. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 томах / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. - т. 1-3.

11. Сайты http://www/informika.ru, htt://www.softline.ru, http://matlab.ru.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Реферат на тему: «Интеграл и его применение»

Студентки

мед. колледжа

№2 203 группы

Куликовой Марии

Санкт - Петербург 2010 год

Введение

Символ интеграла введен с 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ т введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a) Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инте грал иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило бол ее раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = т f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f (x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную b, называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

1609 г. и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1, б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения

y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b - а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1, в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезны м при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу т хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т.п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (188 4-1974), советским математиком А.Я. Хинчинчиным (1894-1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CОR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается т f(x)dx.

т f(x)dx = F(x)+C,

где F(x) - некоторая первообразная на промежутке J.

f - подынтегральная функция, f(x) - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, C - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

(т f(x)dx) ў = т f(x)dx,

т f(x)dx = F(x)+C, где F ў(x) = f(x)

(т f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

т f ў(x)dx = f(x)+C - из определения.

т k f (x)dx = k т fў(x)dx

если k - постоянная и F ў(x)=f(x),

т k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k т fў(x)dx

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т f(x)dx + т g(x)dx +...+ т h(x)dx

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т dx = т ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= т f(x)dx + т g(x)dx +...+ т h(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

1. т xЦ(3x2-1)dx;

Пусть 3x2-1=t (tі0), возьмем производную от обеих частей:

у dt 1 1 у 1 1 t 2 2 1 ---Ш

ф- t 2 = - ф t 2dt = - --- + C = -Ц 3x2-1 +C

т sin x cos 3x dx = т - t3dt = - - + C

Пусть cos x = t

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

т sin 3x cos x dx = 1/2 т (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

у x4+3x2+1 у 1 1

ф dx = ф(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - arctg x + C

х x2+1 х x2+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

По частям. Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))"=u"(x)v(x)+u(x)v(x)

u"(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v"(x)

т u"(x)v(x)dx=т (u(x)v(x))"dx - т u(x)v"(x)dx

т u"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - т u(x)v"(x)dx

т x cos (x) dx = т x dsin x = x sin x - т sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, xО.

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому xО поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой (рис. 2), проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр

Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D(f) = D(S) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), при Dx®0 DS - прямоугольник

Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): т.к. x0 точка, то S(x) -

Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

1). Разобьем отрезок на n равных частей. Шаг разбиения (рис. 3)

Dx=(b-a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

При n®Ґ получим, что Sтр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®Ґ. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a - нижний предел интегрирования;

b - верхний.

Формула Ньютона-Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F - первообразная для b на , то

т f(x)dx = F(b)-F(a)

т f(x)dx = F(x) ф = F(b) - F(a)

Свойства определенного интеграла.

т f(x)dx = т f(z)dz

т f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

т f(x)dx = - т f(x)dx

т f(x)dx = F(a) - F(b) т f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

т f(x)dx = т f(x)dx + т f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если l и m постоянные величины, то

т (lf(x) +m j(x))dx = l т f(x)dx + m тj(x))dx -

Это свойство линейности определенного интеграла.

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т f(x)dx+ т g(x)dx+...+ т h(x)dx

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H(a)+Cn=b b b = т f(x)dx+ т g(x)dx+...+ т h(x)dx

Набор стандартных картинок (рис. 4, 5, 6, 7, 8)

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Надо: рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A"B"CD b

S(ABCD)=S(A"B"CD) = т -f(x)dx

S= т f(x)dx = т g(x)dx

S = т (f(x)-g(x))dx+т(g(x)-f(x))dx

S= т (f(x)+m-g(x)-m)dx =

т (f(x)- g(x))dx

т ((f(x)-g(x))dx

S= т (f(x)+m-g(x)-m)dx =

Т (f(x)- g(x))dx

Если на отрезке f(x)іg(x), то площадь между этими графиками равна

т ((f(x)-g(x))dx

Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные

S=т f(x)dx - т g(x)dx = т (f(x)-g(x))dx

Применение интеграла

В физике.

Работа силы (A=FScosa, cosa № 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b - a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1-a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке - f(xn-1)(b-xn-1). Следовательно работа на равна:

А » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®Ґ

А = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= т f(x)dx (по определению)

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой -F(s) упругость пружины при её сжатии, то

Eп = A= - т (-F(s)) dx

Из курса механики известно, что F(s)= -Cs.

Отсюда находим

Еп= - т (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс - точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)} и функция y=f(x) непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) т x f(x) dx; y0 = (1/2S) т f 2(x) dx;

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY (рис. 9).

Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M

Функция, описывающая полукруг имеет вид:

Пусть S = pR2/2 - площадь полукруга, тогда

y = (1/2S) тЦ(R2-x2)dx = (1/pR2) тЦ(R2-x2)dx = -R -R

R = (1/pR2)(R2x-x3/3)|= 4R/3p

Ответ: M(0; 4R/3p)

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2-t1 (t2>t1) прошла путь S, то

В геометрии

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём - это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма (рис. 10):

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®Ґ называется интегралом a

V= т S(x)dx, где S(x) - сечение плоскости, проходящей через

b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч(x)=p f 2(x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке функция y = f(x) имеет непрерывную производную y" = f "(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xО можно найти по формуле

l = т Ц(1+f"(x)2)dx

Список литературы

1. М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва, 1993 г.

2. “Сборник задач по математическому анализу”, Москва, 1996 г.

3. И.В. Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982 г.

4. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referatovbank.ru/

Подобные документы

Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Особенности метода исчерпывания. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Понятие определенного интеграла.

презентация , добавлен 05.07.2016

История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.

курсовая работа , добавлен 16.10.2013

Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.

контрольная работа , добавлен 10.02.2017

История появления понятия "интеграла" и интегрального исчисления, его особенности и значение. Интеграл как один из основных инструментов работы с функциями. Обоснование необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.

презентация , добавлен 19.05.2014

Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

контрольная работа , добавлен 23.02.2011

Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация , добавлен 15.01.2014

Решение задачи по нахождению площади криволинейной трапеции. Определение и свойства определённого интеграла. Необходимое условие интегрируемости и критерий Дарбу. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.

контрольная работа , добавлен 25.03.2011

Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.

презентация , добавлен 18.09.2013

Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

курсовая работа , добавлен 19.05.2011

История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

I. В физике

Работа силы

(A=FScos, cos 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

называется работой, совершаемой силой F.

Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна

Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке --

f(xn-1)(b-xn-1).

Следовательно работа на равна:

А An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n

А = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (по определению)

Eп = A= - (-F(s)) dx

Из курса механики известно, что

Отсюда находим

Еп= - (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Ответ: Cl2/8.

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.

Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна

Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда

Ответ: A=0,08 Дж

С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.

Высота тетраэдра

объем тетраэдра

Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен

Теперь найдем работу Ai при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна, а вес тетраэдра:

Следовательно,

Отсюда A=A0+A1=7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж

Ответ: A=9,31 (Дж).

Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом б и ее большая сторона находится на глубине h?

Координаты центра масс

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |axb; 0yf(x)} и функция

непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Ответ: M(0; 4R/3).

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.

В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от р/2 до 0, поэтому

Воспользовавшись формулой площади эллипса S=рab, получим

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью =(t) и за время

T= t2-t1 (t2>t1)

прошла путь S, то

В геометрии

Объём -- количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле -- объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём -- это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n называется интегралом

где S(x) - сечение плоскости, проходящей через выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1) Выбрать удобным способом ось ОХ.
2) Определить границы расположения этого тела относительно оси.
3) Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.
4) Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.
5) Составить интеграл.
6) Вычислив интеграл, найти объем.

Найти объем трехосного эллипса

Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс

План

1. История интегрального исчисления.

2. Определение и свойства интеграла.

3. Криволинейная трапеция.

4. Свойства определенного интеграла.

5. Набор стандартных картинок.

6. Применение интеграла.

История интегрального исчисления

круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.