संख्या अंतराल। संख्यात्मक खंड, अंतराल, अर्ध-अंतराल और किरणें संख्यात्मक अंतराल अंतराल और उनके प्रकार कहलाती हैं

संख्याओं के समुच्चय में ऐसे समुच्चय होते हैं जहाँ वस्तुएँ संख्यात्मक अंतराल होती हैं। एक सेट निर्दिष्ट करते समय, अंतराल द्वारा निर्धारित करना आसान होता है। इसलिए, हम संख्यात्मक अंतरालों का उपयोग करके समाधान के सेट लिखते हैं।

यह लेख संख्यात्मक अंतराल, नाम, अंकन, समन्वय रेखा पर अंतराल की छवियों, असमानताओं के पत्राचार के बारे में सवालों के जवाब देता है। अंत में, अंतराल की तालिका पर विचार किया जाएगा।

प्रत्येक संख्या अवधि की विशेषता है:

• नाम;
• साधारण या दोहरी असमानता की उपस्थिति;
• पद;
• निर्देशांक रेखा पर ज्यामितीय छवि।

ऊपर दी गई सूची में से किन्हीं 3 विधियों का उपयोग करके संख्यात्मक श्रेणी निर्धारित की जाती है। यही है, समन्वय रेखा पर असमानता, अंकन, छवियों का उपयोग करते समय। यह विधि सबसे अधिक लागू होती है।

आइए उपरोक्त संकेतित पक्षों के साथ संख्यात्मक अंतरालों का विवरण दें:

परिभाषा 2

• ओपन नंबर बीम।नाम इस तथ्य के कारण है कि इसे छोड़ दिया जाता है, इसे खुला छोड़ देता है।

इस अंतराल में संगत असमानताएँ हैं x< a или x >a , जहां a कुछ वास्तविक संख्या है। अर्थात् ऐसी किरण पर वे सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं जो a से कम होती हैं - (x .)< a) или больше a - (x >ए) ।

संख्याओं का समुच्चय जो x . के रूप की असमानता को संतुष्ट करेगा< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >ए, जैसे (ए, + ∞)।

एक खुले बीम का ज्यामितीय अर्थ एक संख्यात्मक अंतराल की उपस्थिति पर विचार करता है। निर्देशांक रेखा के बिंदुओं और उसकी संख्याओं के बीच एक पत्राचार होता है, जिसके कारण रेखा को निर्देशांक रेखा कहा जाता है। यदि संख्याओं की तुलना करना आवश्यक है, तो निर्देशांक रेखा पर बड़ी संख्या दाईं ओर होती है। तब x . के रूप की एक असमानता< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >ए - बिंदु जो दाईं ओर हैं। संख्या स्वयं हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है, इसलिए, ड्राइंग में इसे एक छिद्रित बिंदु द्वारा दर्शाया गया है। जिस गैप की जरूरत है उसे हैचिंग द्वारा हाइलाइट किया जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

उपरोक्त आकृति से, यह देखा जा सकता है कि संख्यात्मक अंतराल एक सीधी रेखा के एक भाग के अनुरूप होते हैं, अर्थात किरणें a से शुरू होती हैं। दूसरे शब्दों में, उन्हें बिना शुरुआत के किरणें कहा जाता है। इसलिए, इसे खुली संख्या किरण कहा जाता था।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दी गई सख्त असमानता x > - 3 के लिए एक खुली किरण दी गई है। इस प्रविष्टि को निर्देशांक (− 3 , ) के रूप में दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, ये सभी बिंदु - 3 से दाईं ओर स्थित हैं।

उदाहरण 2

यदि हमारे पास x . के रूप की असमानता है< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

परिभाषा 3

• नंबर बीम।ज्यामितीय अर्थ यह है कि शुरुआत को त्यागा नहीं जाता है, दूसरे शब्दों में, किरण अपनी उपयोगिता को पीछे छोड़ देती है।

इसका नियतन x a या x a के रूप की गैर-सख्त असमानताओं की सहायता से जाता है। इस प्रकार के लिए, फॉर्म (- , a ] और [ a , + ∞) के विशेष अंकन को स्वीकार किया जाता है, और एक वर्ग ब्रैकेट की उपस्थिति का अर्थ है कि बिंदु समाधान में या सेट में शामिल है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

उदाहरण के लिए, आइए एक संख्यात्मक किरण सेट करें।

उदाहरण 3

फॉर्म की एक असमानता x 5 संकेतन [ 5 , + ∞) से मेल खाती है, तो हमें इस रूप की एक किरण मिलती है:

परिभाषा 4

• मध्यान्तर।अंतराल का उपयोग करके सेटिंग दोहरी असमानताओं का उपयोग करके लिखी जाती है a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

उदाहरण 4

अंतराल उदाहरण - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

परिभाषा 5

• संख्यात्मक रेखा।यह अंतराल इस मायने में भिन्न है कि इसमें सीमा बिंदु शामिल हैं, फिर इसका रूप a x ≤ b है। ऐसी गैर-सख्त असमानता कहती है कि संख्यात्मक खंड के रूप में लिखते समय वर्ग कोष्ठक [ a , b ] का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अंक सेट में शामिल होते हैं और भरे हुए के रूप में दिखाए जाते हैं।

उदाहरण 5

खंड पर विचार करने के बाद, हम पाते हैं कि दोहरी असमानता 2 ≤ x ≤ 3 का उपयोग करके इसका विनिर्देश संभव है, जिसे 2 , 3 के रूप में दर्शाया गया है। समन्वय रेखा पर, डेटा बिंदुओं को समाधान में शामिल किया जाएगा और छायांकित किया जाएगा।

परिभाषा 6 उदाहरण 6

यदि आधा-अंतराल (1 , 3 ] हो, तो इसका पद दोहरी असमानता के रूप में हो सकता है 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

अंतराल के रूप में दिखाया जा सकता है:

• ओपन नंबर बीम;
• संख्या बीम;
• मध्यान्तर;
• संख्यात्मक खंड;
• आधा अंतराल।

गणना प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, एक विशेष तालिका का उपयोग करना आवश्यक है, जहां एक सीधी रेखा के सभी प्रकार के संख्यात्मक अंतराल के लिए पदनाम हैं।

नाम	असमानता	पद	छवि
ओपन नंबर बीम	एक्स< a	- , ए
	एक्स > ए	ए, +∞
नंबर बीम	एक्स ए	(-∞, ए]
	एक्स ए	[ए, +∞)
मध्यान्तर	ए< x < b	ए, बी
संख्यात्मक खंड	एक एक्स ≤ बी	ए, बी
आधा अंतराल

"बीजगणित ग्रेड 7 में टेबल्स" - वर्गों का अंतर। भाव। विषय। बीजगणित तालिकाएँ।

"संख्यात्मक कार्य" - सेट X को कार्य क्षेत्र या फ़ंक्शन f की परिभाषा का क्षेत्र कहा जाता है और इसे D (f) द्वारा दर्शाया जाता है। फंक्शन ग्राफ। हालांकि, हर लाइन किसी न किसी फंक्शन का ग्राफ नहीं होती है। उदाहरण 1. एक स्काईडाइवर मंडराते हेलीकॉप्टर से कूदता है। सिर्फ एक नंबर। कार्यों के टुकड़े-टुकड़े विनिर्देश। प्राकृतिक घटनाएं एक दूसरे से घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई हैं।

"संख्यात्मक अनुक्रम" - पाठ-सम्मेलन। "संख्या अनुक्रम"। ज्यामितीय अनुक्रम। कार्य के तरीके। अंकगणितीय प्रगति। संख्यात्मक अनुक्रम।

"संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा" - समाधान: अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तरीके। सीमित संख्या क्रम। मान уn को अनुक्रम का सामान्य सदस्य कहा जाता है। संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा। एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता। उदाहरण: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - नीचे से सीमित 1. विश्लेषणात्मक सूत्र निर्धारित करके। गुण सीमित करें।

"नंबर अनुक्रम" - संख्यात्मक अनुक्रम (संख्या श्रृंखला): एक निश्चित क्रम में लिखी गई संख्याएं। 2. अनुक्रम स्थापित करने के तरीके। 1. परिभाषा। अनुक्रम अंकन। अनुक्रम। 1. अनुक्रम के n-वें सदस्य का सूत्र: - आपको अनुक्रम के किसी भी सदस्य को खोजने की अनुमति देता है। 3. संख्यात्मक अनुक्रम का ग्राफ।

"टेबल्स" - तेल और गैस उत्पादन। तालिका 2. तालिका 5. सारणीबद्ध सूचना मॉडल। ओएस टाइप टेबल के निर्माण का आदेश। तालिका 4. वार्षिक अनुमान। तालिका संख्या। "ऑब्जेक्ट्स - ऑब्जेक्ट्स" प्रकार की तालिकाएँ। 10 "बी" वर्ग के छात्र। टेबल संरचना। वस्तुओं-गुणों के प्रकार की तालिकाएँ। वस्तुओं के जोड़े वर्णित हैं; केवल एक ही संपत्ति है।

संख्या समुच्चयों में, अर्थात् सेट, जिनकी वस्तुएँ संख्याएँ हैं, तथाकथित भेद करें संख्या अंतराल. उनका मूल्य यह है कि एक निर्दिष्ट संख्यात्मक सीमा के अनुरूप एक सेट की कल्पना करना बहुत आसान है, और इसके विपरीत। इसलिए, उनकी मदद से असमानता के समाधान के सेट को लिखना सुविधाजनक है।

इस लेख में, हम सभी प्रकार के संख्यात्मक अंतरालों का विश्लेषण करेंगे। यहां हम उनके नाम देते हैं, संकेतन का परिचय देते हैं, निर्देशांक रेखा पर संख्यात्मक अंतराल बनाते हैं, और यह भी दिखाते हैं कि कौन सी सरलतम असमानताएं उनके अनुरूप हैं। अंत में, हम सभी सूचनाओं को संख्यात्मक अंतरालों की तालिका के रूप में दृष्टिगत रूप से प्रस्तुत करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

संख्यात्मक अंतराल के प्रकार

प्रत्येक संख्यात्मक अंतराल में चार अटूट रूप से जुड़ी हुई चीजें होती हैं:

• संख्या श्रेणी का नाम,
• संगत असमानता या दोहरी असमानता,
• पद,
• और इसकी ज्यामितीय छवि एक समन्वय रेखा पर एक छवि के रूप में।

किसी भी संख्यात्मक अंतराल को सूची में अंतिम तीन तरीकों में से किसी में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: या तो असमानता द्वारा, या पदनाम द्वारा, या समन्वय रेखा पर इसकी छवि द्वारा। इसके अलावा, असाइनमेंट की इस पद्धति के अनुसार, उदाहरण के लिए, असमानता से, दूसरों को आसानी से बहाल किया जाता है (हमारे मामले में, पदनाम और ज्यामितीय छवि)।

आइए बारीकियों के लिए नीचे उतरें। आइए हम ऊपर बताए गए चारों पक्षों के सभी संख्यात्मक अंतरालों का वर्णन करें।

आइए संख्यात्मक अंतराल के विवरण के साथ शुरू करें, जिसे कहा जाता है ओपन नंबर बीम. ध्यान दें कि विशेषण "संख्यात्मक" को अक्सर छोड़ दिया जाता है, जिससे नाम खुला बीम रह जाता है।

यह संख्यात्मक अंतराल फॉर्म के एक चर के साथ सबसे सरल असमानताओं से मेल खाता है x a , जहां a कुछ वास्तविक संख्या है। अर्थात्, लिखित असमानताओं के अर्थ के अनुसार, खुली संख्या किरण में वे सभी होते हैं जो संख्या a से कम होते हैं (असमानता की स्थिति में x ए)।

असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्याओं का समुच्चय x ए, जैसे (ए, +∞) ।

यह खुली बीम की ज्यामितीय छवि दिखाने के लिए बनी हुई है, इससे यह स्पष्ट हो जाएगा कि माना गया संख्यात्मक अंतराल ऐसा नाम संयोग से नहीं मिला है। चलो मुड़ते हैं। यह ज्ञात है कि इसके बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, जिससे निर्देशांक रेखा को संख्या रेखा कहा जा सकता है। और बात करते समय संख्याओं की तुलना करनाहमने देखा कि बड़ी संख्या छोटी रेखा के दाईं ओर समन्वय रेखा पर स्थित होती है, और छोटी संख्या बड़ी संख्या के बाईं ओर स्थित होती है। इन विचारों के आधार पर, असमानता x a - बिंदु a के दाईं ओर स्थित बिंदु। संख्या स्वयं इन असमानताओं को संतुष्ट नहीं करती है, ड्राइंग में इस पर जोर देने के लिए, इसे एक खाली केंद्र के साथ एक बिंदु के रूप में दर्शाया गया है। उन बिंदुओं के ऊपर, जो असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के अनुरूप हैं, तिरछी छायांकन दर्शाते हैं:

उपरोक्त रेखाचित्रों से यह देखा जा सकता है कि ये संख्यात्मक अंतराल संख्या रेखा के कुछ हिस्सों के अनुरूप हैं, जो हैं किरणोंबिंदु a से शुरू हो रहा है, लेकिन बिंदु a को छोड़कर। दूसरे शब्दों में, वे बिना शुरुआत के किरणें हैं। इसलिए नाम - ओपन नंबर बीम।

आइए हम खुली संख्यात्मक किरणों के कुछ ठोस उदाहरण दें। इस प्रकार, सख्त असमानता x>−3 एक खुली संख्या किरण को परिभाषित करती है। इसे संकेतन (−3, ) द्वारा भी परिभाषित किया गया है। और निर्देशांक रेखा पर, यह संख्यात्मक अंतराल निर्देशांक −3 के साथ बिंदु के दाईं ओर स्थित बिंदुओं का एक समूह है, इस बिंदु को शामिल नहीं करता है। एक अन्य उदाहरण: असमानता x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


हम निम्नलिखित रूप के संख्यात्मक अंतरालों को पास करते हैं - संख्या किरणें. ज्यामितीय रूप से, वे खुले बीम से भिन्न होते हैं जिसमें बीम की शुरुआत को त्याग नहीं किया जाता है। दूसरे शब्दों में, इस प्रकार के संख्यात्मक अंतरालों की ज्यामितीय छवि एक पूर्ण किरण है।

जहाँ तक असमानताओं का उपयोग करके संख्यात्मक किरणों को निर्दिष्ट करने का सवाल है, वे गैर-सख्त असमानताओं के अनुरूप हैं x≤a या x≥a । उन्हें (−∞, a] और . द्वारा निरूपित किया जाता है। और एक संख्यात्मक खंड की ज्यामितीय छवि इसके सिरों के साथ एक खंड है:


उदाहरण के लिए, एक संख्यात्मक खंड, जो एक दोहरी असमानता द्वारा दिया जाता है, को इस रूप में निरूपित किया जा सकता है, समन्वय रेखा पर यह एक खंड से मेल खाता है, जिसके अंत में दो की जड़ और तीन की जड़ होती है।

यह केवल उन संख्यात्मक अंतरालों के बारे में कहना बाकी है जिन्हें कहा जाता है आधा अंतराल. वे प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए बोलने के लिए, एक अंतराल और एक खंड के बीच एक मध्यवर्ती विकल्प, क्योंकि वे सीमा बिंदुओं में से एक को शामिल करते हैं। अर्ध-अंतराल दोहरी असमानताओं द्वारा दिए गए हैं a

संख्यात्मक अंतरालों की तालिका

इसलिए, पिछले पैराग्राफ में, हमने निम्नलिखित संख्यात्मक अंतरालों को परिभाषित और वर्णित किया है:

• ओपन नंबर बीम;
• संख्या बीम;
• मध्यान्तर;
• आधा अंतराल।

सुविधा के लिए, हम एक तालिका में संख्यात्मक अंतराल पर सभी डेटा को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आइए इसमें संख्यात्मक अंतराल का नाम, इसके अनुरूप असमानता, संकेतन और समन्वय रेखा पर छवि डालें। हमें निम्नलिखित मिलता है: रेंज टेबल:

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 13 वां संस्करण, सीनियर। - एम .: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।

उत्तर - समुच्चय (-∞;+∞) को एक संख्या रेखा कहते हैं, और कोई भी संख्या इस रेखा का एक बिन्दु कहलाती है। मान लीजिए a वास्तविक रेखा पर एक मनमाना बिंदु है और

सकारात्मक संख्या। अंतराल (a-δ; a+δ) को बिंदु a का -पड़ोस कहा जाता है।

समुच्चय X ऊपर से (नीचे से) परिबद्ध है यदि ऐसी कोई संख्या c है कि किसी x ∈ X के लिए असमानता x≤с (x≥c) संतुष्ट है। इस स्थिति में संख्या c को समुच्चय X का ऊपरी (निचला) बाउंड कहा जाता है। ऊपर और नीचे दोनों ओर से बंधे हुए समुच्चय को बाउंडेड कहा जाता है। किसी समुच्चय के ऊपरी (निचले) फलकों में से सबसे छोटा (सबसे बड़ा) इस समुच्चय का ठीक ऊपरी (निचला) बाउंड कहलाता है।

एक संख्यात्मक अंतराल वास्तविक संख्याओं का एक जुड़ा हुआ सेट है, अर्थात यदि 2 संख्याएं इस सेट से संबंधित हैं, तो उनके बीच संलग्न सभी संख्याएं भी इसी सेट से संबंधित हैं। एक अर्थ में, विभिन्न प्रकार के गैर-रिक्त संख्यात्मक अंतराल हैं: रेखा, खुली किरण, बंद किरण, रेखा खंड, अर्ध-अंतराल, अंतराल

संख्या रेखा

सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को संख्या रेखा भी कहते हैं। वे लिखते हैं।

व्यवहार में, ज्यामितीय अर्थों में एक समन्वय या संख्या रेखा की अवधारणा और इस परिभाषा द्वारा शुरू की गई संख्या रेखा की अवधारणा के बीच अंतर करने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, इन विभिन्न अवधारणाओं को एक ही शब्द द्वारा निरूपित किया जाता है।

खुली किरण

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे या एक खुली संख्या किरण कहा जाता है। लिखना या क्रमशः: .

बंद बीम

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे बंद संख्या किरण कहा जाता है। लिखना या क्रमशः:

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे संख्या खंड कहते हैं।

टिप्पणी। परिभाषा यह नहीं बताती है। माना जा रहा है कि मामला संभव है। फिर संख्यात्मक अंतराल एक बिंदु में बदल जाता है।

मध्यान्तर

संख्याओं के समुच्चय को संख्यात्मक अंतराल कहते हैं।

टिप्पणी। एक खुली बीम, एक सीधी रेखा और एक अंतराल के पदनामों का संयोग आकस्मिक नहीं है। एक खुली किरण को एक अंतराल के रूप में समझा जा सकता है, जिसका एक सिरा अनंत तक हटा दिया जाता है, और एक संख्या रेखा - एक अंतराल के रूप में, जिसके दोनों सिरों को अनंत तक हटा दिया जाता है।

आधा अंतराल

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे या एक संख्यात्मक अर्ध-अंतराल कहा जाता है।

लिखें या, क्रमशः,

3. फंक्शन। फंक्शन ग्राफ। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

उत्तर - यदि दो चर x और y दिए गए हैं, तो वे कहते हैं कि चर y चर x का एक फलन है, यदि इन चरों के बीच ऐसा संबंध दिया जाता है जो प्रत्येक मान को y के मान को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

संकेतन F = y(x) का अर्थ है कि हम एक ऐसे फलन पर विचार कर रहे हैं जो आश्रित चर y के संगत मान को खोजने के लिए स्वतंत्र चर x (उनमें से जो तर्क x बिल्कुल भी ले सकता है) के किसी भी मान की अनुमति देता है।

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

एक फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

वाई \u003d 3x2 - 2।

फ़ंक्शन को एक ग्राफ द्वारा दिया जा सकता है। ग्राफ़ का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का कौन सा मान तर्क के निर्दिष्ट मान से मेल खाता है। आमतौर पर यह फ़ंक्शन का अनुमानित मान होता है।

4. समारोह की मुख्य विशेषताएं: एकरसता, समता, आवधिकता।

उत्तर -आवधिकता परिभाषा। एक फ़ंक्शन f को आवधिक कहा जाता है यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद हो
, वह f(x+
)=f(x), सभी x . के लिए डी (एफ)। स्वाभाविक रूप से, ऐसी संख्याएँ अनंत हैं। सबसे छोटी धनात्मक संख्या ^ T को फलन का आवर्त कहते हैं। उदाहरण। ए। वाई \u003d कॉस एक्स, टी \u003d 2 . बी। वाई \u003d टीजी एक्स, टी \u003d . एस. वाई = (एक्स), टी = 1. डी. वाई = , यह फ़ंक्शन आवधिक नहीं है। समता परिभाषा। एक फलन f कहा जाता है, भले ही D(f) से सभी x के लिए गुण f(-x) = f(x) संतुष्ट हो। यदि f (-x) = -f (x) है, तो फलन विषम कहलाता है। यदि इनमें से कोई भी संबंध संतुष्ट नहीं होता है, तो फलन को सामान्य रूप का फलन कहा जाता है। उदाहरण। ए। वाई \u003d कॉस (एक्स) - सम; बी। वाई \u003d टीजी (एक्स) - विषम; एस। वाई \u003d (एक्स); y=sin(x+1) – सामान्य फलन। एकरसता की परिभाषा। एक फलन f: X -> R को बढ़ते (घटते) कहा जाता है यदि किसी के लिए
शर्त पूरी होती है:
परिभाषा। एक फ़ंक्शन X -> R को X पर मोनोटोनिक कहा जाता है यदि यह X पर बढ़ रहा है या घट रहा है। यदि x के कुछ उपसमुच्चयों पर f एकरस स्वर है, तो इसे टुकड़े के अनुसार एकरस स्वर कहा जाता है। उदाहरण। y \u003d cos x एक टुकड़ावार मोनोटोन फ़ंक्शन है।