पायथागॉरियन ट्रिपल ऑफ़ नंबर (छात्र का रचनात्मक कार्य)। पाइथागोरस संख्या पाइथागोरस त्रिक में तीन समान कर्ण

प्राकृतिक संख्याओं के गुणों के अध्ययन ने पाइथागोरस को सैद्धांतिक अंकगणित (संख्या सिद्धांत) की एक और "शाश्वत" समस्या की ओर अग्रसर किया - एक समस्या जिसके रोगाणु प्राचीन मिस्र और प्राचीन बेबीलोन में पाइथागोरस से बहुत पहले अपना रास्ता बना चुके थे, और एक सामान्य समाधान नहीं मिला है। आज तक। आइए समस्या से शुरू करें, जिसे आधुनिक शब्दों में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: प्राकृतिक संख्याओं में अनिश्चित समीकरण को हल करें

आज इस कार्य को कहा जाता है पाइथागोरस की समस्या, और इसके समाधान - समीकरण (1.2.1) को संतुष्ट करने वाली प्राकृत संख्याओं के त्रिगुण - कहलाते हैं पाइथागोरस त्रिक. पाइथागोरस प्रमेय के पाइथागोरस समस्या के साथ स्पष्ट संबंध के कारण, बाद वाले को एक ज्यामितीय सूत्रीकरण दिया जा सकता है: पूर्णांक पैरों के साथ सभी समकोण त्रिभुज खोजें एक्स, आपऔर पूर्णांक कर्ण जेड.

पाइथागोरस समस्या के विशेष समाधान प्राचीन काल में ज्ञात थे। फिरौन अमेनेमहट I (सी। 2000 ईसा पूर्व) के समय से एक पेपिरस में, बर्लिन में मिस्र के संग्रहालय में संग्रहीत, हम पक्षों () के अनुपात के साथ एक समकोण त्रिभुज पाते हैं। गणित के सबसे बड़े जर्मन इतिहासकार एम. कांटोर (1829 - 1920) के अनुसार, प्राचीन मिस्र में एक विशेष पेशा था हार्पीडोनैप्ट्स- "रस्सी टेंशनर", जिन्होंने मंदिरों और पिरामिडों को बिछाने के गंभीर समारोह के दौरान, 12 (= 3 + 4 + 5) समान दूरी वाली गांठ वाली रस्सी के साथ समकोण को चिह्नित किया। चित्र 36 से हर्पीडोनैप्ट्स के साथ एक समकोण बनाने की विधि स्पष्ट है।

यह कहा जाना चाहिए कि प्राचीन गणित के एक अन्य पारखी, वैन डेर वेर्डन, स्पष्ट रूप से कैंटर से असहमत हैं, हालांकि प्राचीन मिस्र की वास्तुकला के बहुत अनुपात कैंटर के पक्ष में गवाही देते हैं। जैसा कि हो सकता है, आज एक समकोण त्रिभुज को एक पहलू अनुपात कहा जाता है मिस्र के.

जैसा कि पी पर नोट किया गया है। 76, प्राचीन बेबीलोन युग की एक मिट्टी की गोली और पाइथागोरस त्रिक की 15 पंक्तियों को संरक्षित किया गया है। मिस्र (3, 4, 5) से 15 (45, 60, 75) से गुणा करके प्राप्त तुच्छ ट्रिपल के अलावा, बहुत जटिल पायथागॉरियन ट्रिपल भी हैं, जैसे (3367, 3456, 4825) और यहां तक ​​कि (12709) , 13500, 18541)! इसमें कोई शक नहीं कि ये संख्याएँ साधारण गणना से नहीं, बल्कि कुछ एकसमान नियमों से मिलीं।

फिर भी, प्राकृतिक संख्याओं में समीकरण (1.2.1) के सामान्य समाधान का प्रश्न केवल पाइथागोरस द्वारा ही उठाया और हल किया गया था। किसी भी गणितीय समस्या का सामान्य सूत्रीकरण प्राचीन मिस्र और प्राचीन बेबीलोनियों दोनों के लिए अलग था। केवल पाइथागोरस के साथ एक निगमनात्मक विज्ञान के रूप में गणित का निर्माण शुरू होता है, और इस पथ के पहले चरणों में से एक की समस्या का समाधान था पाइथागोरस त्रिक. प्राचीन परंपरा पाइथागोरस और प्लेटो के नामों के साथ समीकरण (1.2.1) के पहले समाधान को जोड़ती है। आइए इन समाधानों का पुनर्निर्माण करने का प्रयास करें।

यह स्पष्ट है कि समीकरण (1.2.1) पाइथागोरस ने विश्लेषणात्मक रूप में नहीं, बल्कि एक वर्ग संख्या के रूप में सोचा था, जिसके अंदर वर्ग संख्याओं को खोजना आवश्यक था। एक भुजा वाले वर्ग के रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करना स्वाभाविक था आपएक कम पक्ष जेडमूल वर्ग, यानी। फिर, जैसा कि चित्र 37 से देखना आसान है (बस देखें!), शेष वर्ग संख्या के लिए, समानता को संतुष्ट होना चाहिए। इस प्रकार, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं

इन समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर, हमें समीकरण (1.2.1) का हल मिलता है:

यह देखना आसान है कि परिणामी समाधान केवल विषम के लिए प्राकृत संख्या देता है। इस प्रकार, हमारे पास अंत में है

और इसी तरह परंपरा इस निर्णय को पाइथागोरस के नाम से जोड़ती है।

ध्यान दें कि निकाय (1.2.2) को औपचारिक रूप से समीकरण (1.2.1) से भी प्राप्त किया जा सकता है। वास्तव में,

जहाँ से, यह मानते हुए कि हम (1.2.2) पर पहुँचते हैं।

यह स्पष्ट है कि पाइथागोरस समाधान एक कठोर बाधा () के तहत पाया गया था और इसमें सभी पायथागॉरियन ट्रिपल से बहुत दूर है। अगला कदम है, तब, क्योंकि केवल इस मामले में एक वर्ग संख्या होगी। तो सिस्टम उत्पन्न होता है एक पायथागॉरियन ट्रिपल भी होगा। अब मुख्य

प्रमेय।अगर पीऔर क्यूविभिन्न समता की सहअभाज्य संख्याएँ, फिर सभी आदिम पाइथागोरस त्रिगुण सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं द्वारा जमीन पर लम्बवत रेखाएँ खींचने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सुविधाजनक और बहुत सटीक विधि इस प्रकार है। मान लीजिए कि बिंदु A से होकर जाने वाली रेखा MN पर एक लंब खींचना आवश्यक है (चित्र 13)। A से AM की दिशा में कुछ दूरी a से तीन गुना लेट जाएं। फिर रस्सी पर तीन गांठें बांध दी जाती हैं, जिनके बीच की दूरी 4a और 5a होती है। चरम गांठों को बिंदु A और B से जोड़कर, बीच की गाँठ के ऊपर की हड्डी को खींचे। कॉर्ड एक त्रिभुज में स्थित होगा, जिसमें कोण A एक समकोण है।

यह प्राचीन पद्धति, जाहिरा तौर पर मिस्र के पिरामिडों के निर्माताओं द्वारा हजारों साल पहले इस्तेमाल की गई थी, इस तथ्य पर आधारित है कि प्रत्येक त्रिभुज, जिसके पक्ष प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार 3:4:5 के रूप में संबंधित हैं, है समकोण, चूंकि

3 2 + 4 2 = 5 2 .

संख्याओं 3, 4, 5 के अतिरिक्त, जैसा कि ज्ञात है, सकारात्मक पूर्णांक a, b, c का एक बेशुमार समुच्चय है, जो संबंध को संतुष्ट करता है।

ए 2 + बी 2 \u003d सी 2।

उन्हें पाइथागोरस संख्याएँ कहते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ऐसी संख्याएँ किसी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के रूप में काम कर सकती हैं; इसलिए, ए और बी को "पैर" कहा जाता है, और सी को "कर्ण" कहा जाता है।

यह स्पष्ट है कि यदि a, b, c पाइथागोरस संख्याओं का एक त्रिक है, तो pa, pb, pc, जहाँ p एक पूर्णांक कारक है, पाइथागोरस संख्याएँ हैं। इसके विपरीत, यदि पायथागॉरियन संख्याओं में एक सामान्य कारक है, तो इस सामान्य कारक से आप उन सभी को कम कर सकते हैं, और फिर से आपको पायथागॉरियन संख्याओं का एक तिहाई मिलता है। इसलिए, हम पहले कोप्राइम पाइथागोरस संख्याओं के केवल त्रिगुणों का अध्ययन करेंगे (बाकी उनसे एक पूर्णांक कारक p से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं)।

आइए हम दिखाते हैं कि ऐसे प्रत्येक ट्रिपल ए, बी, सी में से एक "पैर" सम और दूसरा विषम होना चाहिए। आइए "इसके विपरीत" बहस करें। यदि दोनों "पैर" a और b सम हैं, तो संख्या a 2 + b 2 सम होगी, और इसलिए "कर्ण"। यह, हालांकि, इस तथ्य का खंडन करता है कि संख्या ए, बी, सी में सामान्य कारक नहीं हैं, क्योंकि तीन सम संख्याओं में 2 का एक सामान्य कारक है। इस प्रकार, "पैर" ए, बी में से कम से कम एक विषम है।

एक और संभावना बनी हुई है: दोनों "पैर" विषम हैं, और "कर्ण" सम है। यह साबित करना आसान है कि यह नहीं हो सकता। दरअसल, अगर "पैरों" का रूप है

2x + 1 और 2y + 1,

तो उनके वर्गों का योग है

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

अर्थात्, यह एक ऐसी संख्या है जिसे 4 से विभाजित करने पर 2 शेषफल प्राप्त होता है। इस बीच, किसी भी सम संख्या का वर्ग शेषफल के बिना 4 से विभाज्य होना चाहिए। अतः दो विषम संख्याओं के वर्गों का योग एक सम संख्या का वर्ग नहीं हो सकता; दूसरे शब्दों में, हमारे तीन नंबर पाइथागोरस नहीं हैं।

तो, "पैर" से ए, बी, एक सम है और दूसरा विषम है। इसलिए, संख्या a 2 + b 2 विषम है, जिसका अर्थ है कि "कर्ण" c भी विषम है।

मान लीजिए, निश्चितता के लिए, वह विषम "पैर" ए, और यहां तक ​​​​कि बी भी है। समानता से

ए 2 + बी 2 = सी 2

हम आसानी से प्राप्त करते हैं:

ए 2 \u003d सी 2 - बी 2 \u003d (सी + बी) (सी - बी)।

गुणनखंड c + b और c - b दायीं ओर सहअभाज्य हैं। वास्तव में, यदि इन संख्याओं में एक के अलावा एक सामान्य अभाज्य गुणनखंड होता, तो योग भी इस कारक से विभाज्य होता।

(सी + बी) + (सी - बी) = 2 सी,

और अंतर

(सी + बी) - (सी - बी) = 2 बी,

और काम

(सी + बी) (सी - बी) \u003d ए 2,

यानी संख्या 2c, 2b और a का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा। चूँकि a विषम है, यह गुणनखंड दो से भिन्न है, और इसलिए संख्याओं a, b, c का समान गुणनखंड है, जो, हालांकि, नहीं हो सकता। परिणामी विरोधाभास दर्शाता है कि संख्याएँ c + b और c - b सहअभाज्य हैं।

लेकिन यदि सह अभाज्य संख्याओं का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है, तो उनमें से प्रत्येक एक वर्ग है, अर्थात।

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं:

सी \u003d (एम 2 + एन 2) / 2, बी \u003d (एम 2 - एन 2) / 2, और 2 \u003d (सी + बी) (सी - बी) \u003d एम 2 एन 2, ए \u003d एमएन

तो, माना पायथागॉरियन संख्याओं का रूप है

ए \u003d एमएन, बी \u003d (एम 2 - एन 2) / 2, सी \u003d (एम 2 + एन 2) / 2।

जहाँ m और n कुछ सहअभाज्य विषम संख्याएँ हैं। पाठक इसके विपरीत को आसानी से सत्यापित कर सकता है: किसी भी विषम प्रकार के लिए, लिखित सूत्र तीन पाइथागोरस संख्याएँ a, b, c देते हैं।

यहाँ विभिन्न प्रकारों से प्राप्त पाइथागोरस संख्याओं के कुछ त्रिगुण हैं:

m = 3 के लिए, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 m = 5 के लिए, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 m के लिए = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 m = 11 पर, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 m = 13 पर, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 m = 5 पर , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 m = 11 के लिए, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 m = 13, n के लिए = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 पर m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 पर m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 पर एम = 13, एन = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 पर एम = 9, एन = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 पर एम = 11, एन = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(पायथागॉरियन संख्याओं के अन्य सभी त्रिगुणों में या तो उभयनिष्ठ गुणनखंड होते हैं या उनमें सौ से अधिक संख्याएँ होती हैं।)

डायोफैंटाइन समीकरण का एक महत्वपूर्ण उदाहरण पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया गया है, जो एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई x और y को उसके कर्ण की लंबाई z से जोड़ता है:

बेशक, आप प्राकृतिक संख्याओं में इस समीकरण के अद्भुत समाधानों में से एक के बारे में जानते हैं, अर्थात् पाइथागोरस ट्रिपल ऑफ़ नंबर्स एक्स = 3, वाई = 4, जेड = 5।क्या कोई अन्य ट्रिपल हैं?

यह पता चला है कि असीम रूप से कई पायथागॉरियन ट्रिपल हैं, और वे सभी बहुत पहले पाए गए थे। वे प्रसिद्ध सूत्रों द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं, जिनके बारे में आप इस अनुच्छेद से सीखेंगे।

यदि पहली और दूसरी डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरण पहले ही हल हो चुके हैं, तो समीकरणों को हल करने का सवाल अधिक है उच्च डिग्रीमहान गणितज्ञों के प्रयासों के बावजूद अभी भी खुला है। वर्तमान में, उदाहरण के लिए, Fermat का प्रसिद्ध अनुमान है कि किसी भी पूर्णांक मान के लिए एन 2समीकरण

पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

कुछ प्रकार के डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए, तथाकथित जटिल आंकड़े।यह क्या है? मान लें कि अक्षर i किसी ऐसी वस्तु को दर्शाता है जो शर्त को पूरा करती है मैं 2 \u003d -1(यह स्पष्ट है कि कोई भी वास्तविक संख्या इस शर्त को संतुष्ट नहीं करती है)। फॉर्म के भावों पर विचार करें α+iβ,जहाँ α और β वास्तविक संख्याएँ हैं। ऐसे व्यंजकों को सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाएगा, जिनके ऊपर योग और गुणन की संक्रियाओं को परिभाषित किया गया है, साथ ही द्विपदों पर, लेकिन केवल अंतर के साथ कि व्यंजक मैं 2हर जगह हम नंबर -1 को बदल देंगे:

7.1 तीनों में से कई

सिद्ध कीजिए कि यदि x0, y0, z0- पाइथागोरस ट्रिपल, फिर ट्रिपल वाई 0, एक्स 0, जेड 0और एक्स 0 के, वाई 0 के, जेड 0 केप्राकृतिक पैरामीटर k के किसी भी मान के लिए भी पाइथागोरस है।

7.2. निजी सूत्र

जांचें कि किसी भी प्राकृतिक मूल्यों के लिए एम>एनफॉर्म की त्रिमूर्ति

पाइथागोरस है। क्या यह कोई पायथागॉरियन ट्रिपल है एक्स, वाई, जेडइस रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, यदि आप ट्रिपल में संख्याओं x और y को पुनर्व्यवस्थित करने की अनुमति देते हैं?

7.3. इरेड्यूसिबल ट्रिपलेट्स

पाइथागोरस की त्रिक संख्याओं का, जिनका एक सार्व भाजक 1 से अधिक नहीं है, इरेड्यूसिबल कहलाएगी। साबित करें कि पाइथागोरस ट्रिपल इरेड्यूसिबल तभी होता है जब ट्रिपल में कोई भी दो नंबर कोप्राइम हों।

7.4. इरेड्यूसिबल ट्रिपल्स की संपत्ति

साबित करें कि किसी भी अपरिवर्तनीय पायथागॉरियन ट्रिपल x, y, z में संख्या z और ठीक एक संख्या x या y विषम हैं।

7.5. सभी इरेड्यूसबल ट्रिपल्स

साबित करें कि संख्या x, y, z का एक तिहाई एक अपरिवर्तनीय पायथागॉरियन ट्रिपल है यदि और केवल अगर यह पहले दो संख्याओं के क्रम तक ट्रिपल के साथ मेल खाता है 2 एमएन, एम 2 - एन 2, एम 2 + एन 2,कहाँ पे एम>एन- विभिन्न समता की प्राकृतिक संख्याओं को सहअंकित करें।

7.6. सामान्य सूत्र

सिद्ध कीजिए कि समीकरण के सभी हल

प्राकृतिक संख्याओं में सूत्रों द्वारा अज्ञात x और y के क्रम तक दिया जाता है

जहां एम>एन और के प्राकृतिक पैरामीटर हैं (किसी भी ट्रिपल के दोहराव से बचने के लिए, यह प्रकार के कोप्राइम और इसके अलावा, विभिन्न समता की संख्या चुनने के लिए पर्याप्त है)।

7.7. पहले 10 ट्रिपल

सभी पाइथागोरस त्रिक ज्ञात करें एक्स, वाई, जेडशर्त को संतुष्ट करना एक्स

7.8. पाइथागोरस त्रिक के गुण

सिद्ध कीजिए कि किसी पाइथागोरस त्रिक के लिए एक्स, वाई, जेडकथन सत्य हैं:

a) x या y में से कम से कम एक संख्या 3 का गुणज है;

b) कम से कम एक संख्या x या y, 4 का गुणज है;

c) x, y या z में से कम से कम एक संख्या 5 का गुणज है।

7.9. सम्मिश्र संख्याओं का अनुप्रयोग

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक α + iβएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहा जाता है

जांचें कि किसी भी जटिल संख्या के लिए α + iβऔर + मैंसंपत्ति निष्पादित है

सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्मों और उनके मापकों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि कोई भी दो पूर्णांक m और n समानता को संतुष्ट करते हैं

अर्थात्, वे समीकरण का हल देते हैं

पूर्णांक (समस्या 7.5 से तुलना करें)।

7.10. गैर-पायथागॉरियन ट्रिपल

सम्मिश्र संख्याओं और उनके मापकों के गुणों का उपयोग करते हुए (समस्या 7.9 देखें), समीकरण के किसी भी पूर्णांक हल के लिए सूत्र खोजें:

ए) एक्स 2 + वाई 2 \u003d जेड 3; बी) एक्स 2 + वाई 2 \u003d जेड 4।

समाधान

7.1. अगर x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 ,फिर वाई 0 2 + एक्स 0 2 = जेड 0 2,और k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए हमारे पास है

क्यू.ई.डी.

7.2. समानता से

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समस्या में दर्शाया गया त्रिक समीकरण को संतुष्ट करता है एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2प्राकृतिक संख्या में। हालांकि, हर पाइथागोरस ट्रिपल नहीं एक्स, वाई, जेडइस रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, त्रिगुण 9, 12, 15 पाइथागोरस है, लेकिन संख्या 15 को किन्हीं दो प्राकृत संख्याओं m और n के वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

7.3. यदि पायथागॉरियन ट्रिपल से कोई दो संख्याएं एक्स, वाई, जेडएक उभयनिष्ठ भाजक d है, तो यह तीसरी संख्या का भी भाजक होगा (इसलिए, स्थिति में एक्स = एक्स 1 डी, वाई = वाई 1 डीअपने पास जेड 2 \u003d एक्स 2 + वाई 2 \u003d (एक्स 1 2 + वाई 1 2) डी 2,जहाँ से z 2, d 2 से विभाज्य है और z, d से विभाज्य है)। इसलिए, पाइथागोरस ट्रिपल को इरेड्यूसिबल होने के लिए, यह आवश्यक है कि ट्रिपल में से कोई भी दो नंबर कोप्राइम हो,

7.4. ध्यान दें कि एक इरेड्यूसिबल पाइथागोरस ट्रिपल की संख्या x या y में से एक, मान लीजिए x, एक्स, वाई, जेडविषम है क्योंकि अन्यथा संख्याएँ x और y सहअभाज्य नहीं होंगी (देखिए समस्या 7.3)। यदि दूसरी संख्या y भी विषम है, तो दोनों संख्याएँ

4 से विभाजित करने पर 1 का शेषफल दें, और संख्या जेड 2 \u003d एक्स 2 + वाई 2 4 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है, अर्थात यह 2 से विभाज्य है, लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है, जो नहीं हो सकता। इस प्रकार, संख्या y सम होनी चाहिए, और इसलिए संख्या z विषम होनी चाहिए।

7.5. पाइथागोरस को तीन गुना करने दें एक्स, वाई, जेडइरेड्यूसबल है और निश्चितता के लिए, संख्या x सम है, जबकि संख्याएँ y, z विषम हैं (देखिए समस्या 7.4)। फिर

नंबर कहां हैं पूरे हैं। आइए हम सिद्ध करें कि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं। वास्तव में, यदि उनके पास 1 से बड़ा एक सामान्य भाजक होता, तो संख्याओं का भाजक समान होता जेड = ए + बी, वाई = ए - बी,यानी, ट्रिपल इरेड्यूसेबल नहीं होगा (देखें समस्या 7.3)। अब, संख्या a और b को उत्पादों में विस्तारित करना प्रधान कारण, हम ध्यान दें कि उत्पाद में किसी भी प्रमुख कारक को शामिल किया जाना चाहिए 4ab = x2केवल एक सम अंश तक, और यदि इसे संख्या a के विस्तार में शामिल किया जाता है, तो इसे संख्या b के विस्तार में शामिल नहीं किया जाता है और इसके विपरीत। इसलिए, किसी भी अभाज्य गुणनखंड को संख्या a या b के अलग-अलग विस्तार में केवल एक सम अंश तक शामिल किया जाता है, जिसका अर्थ है कि ये संख्याएँ स्वयं पूर्णांकों के वर्ग हैं। चलो रखो तब हमें समानता मिलती है

इसके अलावा, प्राकृतिक पैरामीटर m>n सहअभाज्य हैं (संख्याओं a और b की सहअभाज्यता के कारण) और भिन्न समता (विषम संख्या के कारण) हैं जेड \u003d एम 2 + एन 2).

आइए अब विभिन्न समता की प्राकृत संख्याएँ m>n सहअभाज्य हों। फिर त्रिक x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, समस्या 7.2 के अनुसार, पाइथागोरस है। आइए हम साबित करें कि यह अघुलनशील है। ऐसा करने के लिए, यह जांचना पर्याप्त है कि संख्या y और z में सामान्य भाजक नहीं हैं (समस्या 7.3 देखें)। वास्तव में, ये दोनों संख्याएँ विषम हैं, क्योंकि प्रकार संख्याओं में भिन्न-भिन्न समताएँ होती हैं। यदि संख्याओं y और z में कुछ साधारण उभयनिष्ठ भाजक हैं (तो यह विषम होना चाहिए), तो प्रत्येक संख्या और और उनके साथ और प्रत्येक संख्या m और n में एक ही भाजक है, जो उनकी पारस्परिक सरलता का खंडन करता है।

7.6. समस्या 7.1 और 7.2 में प्रतिपादित अभिकथनों के आधार पर, ये सूत्र केवल पाइथागोरस त्रिगुणों को परिभाषित करते हैं। दूसरी ओर, कोई भी पायथागॉरियन ट्रिपल एक्स, वाई, जेडसबसे बड़े सामान्य भाजक k द्वारा इसकी कमी के बाद, संख्या x और y की जोड़ी अप्रासंगिक हो जाती है (समस्या 7.3 देखें) और इसलिए, समस्या 7.5 में वर्णित रूप में x और y संख्याओं के क्रम तक का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इसलिए, किसी भी पायथागॉरियन ट्रिपल को मापदंडों के कुछ मूल्यों के लिए संकेतित सूत्रों द्वारा दिया जाता है।

7.7. असमानता से z और समस्या 7.6 के सूत्र, हम अनुमान प्राप्त करते हैं एम 2 यानी एम≤5. यह मानते हुए एम = 2, एन = 1और के = 1, 2, 3, 4, 5,हमें त्रिगुण मिलते हैं 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. यह मानते हुए एम = 3, एन = 2और कश्मीर = 1, 2,हमें त्रिगुण मिलते हैं 5, 12, 13; 10, 24, 26. यह मानते हुए एम = 4, एन = 1, 3और कश्मीर = 1,हमें त्रिगुण मिलते हैं 8, 15, 17; 7, 24, 25. अंत में, मान लेना एम = 5, एन = 2और कश्मीर = 1,हमें तीन मिलते हैं 20, 21, 29.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. नई सामग्री की व्याख्या

शिक्षक: पाइथागोरस त्रिगुणों की आकर्षक शक्ति के रहस्य ने लंबे समय से मानवता को चिंतित किया है। पाइथागोरस त्रिक के अद्वितीय गुण प्रकृति, संगीत और गणित में उनकी विशेष भूमिका की व्याख्या करते हैं। पाइथागोरस मंत्र, पायथागॉरियन प्रमेय, लाखों लोगों के दिमाग में रहता है, अगर अरबों लोगों के दिमाग में नहीं है। यह एक मौलिक प्रमेय है, जिसे याद करने के लिए हर स्कूली बच्चा मजबूर है। यद्यपि पायथागॉरियन प्रमेय को दस साल के बच्चों द्वारा समझा जा सकता है, यह समस्या की प्रेरक शुरुआत है जो गणित के इतिहास में सबसे महान दिमागों को विफल कर देती है, फ़र्मेट की प्रमेय। समोस द्वीप से पाइथागोरस (cf. अनुलग्नक 1 , स्लाइड 4) गणित में सबसे प्रभावशाली अभी तक गूढ़ व्यक्तियों में से एक था। चूंकि उनके जीवन और कार्य का कोई विश्वसनीय रिकॉर्ड नहीं है, उनका जीवन मिथकों और किंवदंतियों में डूबा हुआ है, और इतिहासकारों को कल्पना से तथ्य को अलग करना मुश्किल लगता है। हालांकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि पाइथागोरस ने संख्याओं के तर्क का विचार विकसित किया और यह उनके लिए है कि हम गणित के पहले स्वर्ण युग के ऋणी हैं। उनकी प्रतिभा के लिए धन्यवाद, संख्याओं का उपयोग अब केवल गिनती और गणना के लिए नहीं किया गया था और पहले इसकी सराहना की गई थी। पाइथागोरस ने संख्याओं के कुछ वर्गों के गुणों, उनके बीच संबंधों और संख्याओं को बनाने वाली आकृतियों का अध्ययन किया। पाइथागोरस ने महसूस किया कि संख्याएँ भौतिक दुनिया से स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं, और इसलिए हमारी इंद्रियों की अशुद्धि संख्याओं के अध्ययन को प्रभावित नहीं करती है। इसका मतलब यह हुआ कि पाइथागोरस ने किसी की राय या पूर्वाग्रह से स्वतंत्र होकर सत्य की खोज करने की क्षमता हासिल कर ली। सत्य किसी भी पिछले ज्ञान की तुलना में अधिक निरपेक्ष हैं। पाइथागोरस त्रिगुणों से संबंधित अध्ययन किए गए साहित्य के आधार पर, हम त्रिकोणमिति की समस्याओं को हल करने में पाइथागोरस त्रिगुणों का उपयोग करने की संभावना में रुचि लेंगे। इसलिए, हम खुद को लक्ष्य निर्धारित करेंगे: कई पाइथागोरस ट्रिपल का अध्ययन करने के लिए, उनके आवेदन के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करना, उनके उपयोग पर एक ज्ञापन संकलित करना, और विभिन्न स्थितियों में उनके आवेदन पर एक अध्ययन करना।

त्रिभुज ( स्लाइड 14), जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस संख्याओं के बराबर हैं, आयताकार है। इसके अलावा, ऐसा कोई भी त्रिभुज हेरोनियन है, अर्थात। एक जिसमें सभी भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक हैं। उनमें से सबसे सरल मिस्र का त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।

आइए संख्याओं (3, 4, 5) को 2 से, 3 से, 4 से गुणा करके पाइथागोरस त्रिगुणों की एक श्रृंखला बनाएं। हमें पाइथागोरस त्रिगुणों की एक श्रृंखला मिलेगी, उन्हें अधिकतम संख्या के आरोही क्रम में क्रमबद्ध करें, आदिम का चयन करें।

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. कक्षाओं के दौरान

1. आइए कार्यों के इर्द-गिर्द घूमते हैं:

1) एक ही तर्क के त्रिकोणमितीय फलनों के बीच संबंधों का उपयोग करते हुए, ज्ञात कीजिए कि क्या

यह जाना जाता है कि ।

2) कोण के त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि:

3) "अतिरिक्त सूत्र" विषय पर प्रशिक्षण कार्यों की प्रणाली

यह जानते हुए कि sin = 8/17, cos = 4/5, और प्रथम तिमाही के कोण हैं, व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यह जानते हुए कि और दूसरी तिमाही के कोण हैं, sin = 4/5, cos = - 15/17, खोजें:।

4) "डबल एंगल फॉर्मूला" विषय पर प्रशिक्षण कार्यों की प्रणाली

a) माना sin = 5/13, दूसरी तिमाही का कोण हो। sin2, cos2, tg2, ctg2 खोजें।

बी) यह ज्ञात है कि टीजी? \u003d 3/4, - तीसरी तिमाही का कोण। sin2, cos2, tg2, ctg2 खोजें।

ग) यह ज्ञात है कि, 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

घ) यह ज्ञात है कि , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

ई) टीजी (+) खोजें यदि यह ज्ञात है कि cos = 3/5, cos = 7/25, जहां और पहली तिमाही के कोण हैं।

च) खोजें , तीसरी तिमाही का कोण है।

हम मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पारंपरिक तरीके से समस्या का समाधान करते हैं, और फिर हम उन्हीं समस्याओं को अधिक तर्कसंगत तरीके से हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पाइथागोरस ट्रिपल का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। हम पाइथागोरस ट्रिपल का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए एक ज्ञापन लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की परिभाषा को याद करते हैं, एक समकोण त्रिभुज का न्यून कोण, इसे चित्रित करते हैं, समकोण त्रिभुज के किनारों पर समस्या की स्थितियों के आधार पर, हम पाइथागोरस त्रिगुणों को सही ढंग से व्यवस्थित करते हैं ( चावल। एक) हम अनुपात लिखते हैं और संकेतों को व्यवस्थित करते हैं। एल्गोरिथम विकसित किया गया है।

चित्र 1

समस्या निवारण एल्गोरिदम

सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएं (अध्ययन)।

पाइथागोरस के आदिम त्रिगुणों को हृदय से जानें और, यदि आवश्यक हो, तो नए का निर्माण करने में सक्षम हों।

परिमेय निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषा जानें, एक समकोण त्रिभुज बनाने में सक्षम हों और समस्या की स्थिति के आधार पर, त्रिभुज के किनारों पर पाइथागोरस त्रिगुणों को सही ढंग से व्यवस्थित करें।

निर्देशांक तल में उनके स्थान के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के संकेतों को जानें।

आवश्यक आवश्यकताएं:

1. समन्वय तल के प्रत्येक क्वॉर्टर में साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के कौन से चिह्न हैं, यह जान सकते हैं;
2. समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांग की परिभाषा जान सकेंगे;
3. पाइथागोरस प्रमेय को जानने और लागू करने में सक्षम हो;
4. मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं, योग सूत्र, द्विकोण सूत्र, अर्ध तर्क सूत्र जान सकेंगे;
5. कमी के सूत्रों को जानें।

उपरोक्त के आधार पर, तालिका भरें ( तालिका नंबर एक) इसे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषा का पालन करते हुए या तर्कसंगत निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भरा जाना चाहिए। इस मामले में, समन्वय विमान में उनके स्थान के आधार पर, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के संकेतों को याद रखना लगातार आवश्यक है।

तालिका नंबर एक

		संख्याओं के त्रिक		पाप	क्योंकि	टीजी	सीटीजी
		(3, 4, 5)	मैं घंटा
		(6, 8, 10)	दूसरा घंटा			-	-
		(5, 12, 13)	तीसरा घंटा	-	-
		(8, 15, 17)	चतुर्थ घंटा	-		-	-
		(9, 40, 41)	मैं घंटा

सफल कार्य के लिए, आप पाइथागोरस त्रिक का उपयोग करने के ज्ञापन का उपयोग कर सकते हैं।

तालिका 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. हम एक साथ फैसला करते हैं.

1) कार्य: cos, tg और ctg खोजें, यदि sin = 5/13, if - दूसरी तिमाही का कोण।

गुण

समीकरण के बाद से एक्स 2 + आप 2 = जेड 2 सजातीय, जब गुणा किया जाता है एक्स , आपऔर जेडउसी संख्या के लिए आपको एक और पाइथागोरस ट्रिपल मिलता है। पाइथागोरस ट्रिपल को कहा जाता है प्राचीन, अगर इसे इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात - अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

उदाहरण

कुछ पाइथागोरस त्रिक (अधिकतम संख्या के आरोही क्रम में क्रमबद्ध, आदिम लोगों को हाइलाइट किया गया है):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

फाइबोनैचि संख्याओं के गुणों के आधार पर, आप उन्हें बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसे पायथागॉरियन ट्रिपल:

इतिहास

पाइथागोरस त्रिक बहुत लंबे समय से ज्ञात हैं। प्राचीन मेसोपोटामिया के मकबरे की वास्तुकला में, एक समद्विबाहु त्रिभुज पाया जाता है, जो 9, 12 और 15 हाथ की भुजाओं वाले दो आयताकारों से बना होता है। फिरौन स्नेफ्रू (XXVII सदी ईसा पूर्व) के पिरामिडों को 20, 21 और 29 भुजाओं वाले त्रिभुजों के साथ-साथ 18, 24 और 30 दसियों मिस्र के हाथ के त्रिकोणों का उपयोग करके बनाया गया था।

यह सभी देखें

लिंक

• ई. ए. गोरिनोपाइथागोरस त्रिक में अभाज्य संख्याओं की घातें // गणितीय शिक्षा. - 2008. - वी। 12. - एस। 105-125।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "पायथागॉरियन नंबर" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

प्राकृत संख्याओं का त्रिगुण इस प्रकार है कि एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई इन संख्याओं के समानुपाती (या बराबर) है, समकोण है, उदा। ट्रिपल नंबर: 3, 4, 5… बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

प्राकृत संख्याओं के त्रिगुण जैसे कि एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई इन संख्याओं के समानुपाती (या बराबर) है, आयताकार है, उदाहरण के लिए, संख्याओं का एक तिहाई: 3, 4, 5। * * * पाइथागोरन नंबर पाइथागोरस नंबर, प्राकृतिक संख्याओं के ट्रिपल वह ... ... विश्वकोश शब्दकोश

प्राकृत संख्याओं का त्रिगुण इस प्रकार है कि एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई इन संख्याओं के समानुपाती (या बराबर) है, एक समकोण त्रिभुज है। प्रमेय के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का विलोम (देखें पाइथागोरस प्रमेय), इसके लिए यह पर्याप्त है कि वे ... ...

सकारात्मक पूर्णांक x, y, z के त्रिक समीकरण x2+y 2=z2 को संतुष्ट करते हैं। इस समीकरण के सभी समाधान, और फलस्वरूप, सभी P. p., सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, जहां a, b मनमाने धनात्मक पूर्णांक (a>b) हैं। पी एच ... गणितीय विश्वकोश

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं के त्रिगुण जैसे कि एक त्रिभुज, जिसकी भुजाओं की लंबाई इन संख्याओं के समानुपाती (या बराबर) हो, आयताकार है। संख्याओं का तिगुना: 3, 4, 5… प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

गणित में, पाइथागोरस संख्याएं (पायथागॉरियन ट्रिपल) तीन पूर्णांकों का एक टपल है जो पाइथागोरस संबंध को संतुष्ट करता है: x2 + y2 = z2। सामग्री 1 गुण 2 उदाहरण ... विकिपीडिया

घुंघराले संख्याएं एक विशेष ज्यामितीय आकृति से जुड़ी संख्याओं का सामान्य नाम हैं। यह ऐतिहासिक अवधारणा पाइथागोरस के पास वापस जाती है। संभवतः, "वर्ग या घन" अभिव्यक्ति घुंघराले संख्याओं से उत्पन्न हुई है। सामग्री ... ... विकिपीडिया

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पुस्तकें

• आर्किमिडीज ग्रीष्मकाल, या युवा गणितज्ञों के समुदाय का इतिहास। बाइनरी नंबर सिस्टम, बोब्रोव सर्गेई पावलोविच। द्विआधारी संख्या प्रणाली, "हनोई का टॉवर", नाइट की चाल, जादू वर्ग, अंकगणितीय त्रिकोण, घुंघराले संख्या, संयोजन, संभावनाओं की अवधारणा, मोबियस स्ट्रिप और क्लेन बोतल।…