घर→पाउडर→अभिन्नों का व्यावहारिक अनुप्रयोग. समाकलन गणित

अभिन्नों का व्यावहारिक अनुप्रयोग. समाकलन गणित

गोमेल शहर का शिक्षा विभाग

कार्यकारी समिति

राज्य शिक्षण संस्थान

"गोमेल में व्यायामशाला संख्या 71"

प्रतियोगिता कार्य

"MATLab में भौतिक और ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए अंतर और अभिन्न कलन का अनुप्रयोग"

कलाकार: ओरेखोवा केन्सिया इवानोव्ना,

9बी ग्रेड का छात्र

प्रमुख: गोर्स्की सर्गेई मिखाइलोविच,

आईटी-शिक्षक

राज्य शिक्षण संस्थान

"गोमेल में व्यायामशाला संख्या 71"

परिचय

1. इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस का इतिहास

2. भौतिकी में विभेदक

3. यांत्रिकी और भौतिकी की कुछ समस्याओं के समाधान के लिए एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुप्रयोग

4. विभेदक समीकरण

5. मैटलैब में समस्याओं को हल करने के उदाहरण

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

परिचय

वैकल्पिक पाठ्यक्रम "भौतिक और ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए अंतर और अभिन्न कलन का अनुप्रयोग" का उद्देश्य सामग्री के व्यावहारिक कवरेज के आधार पर गणितीय विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम का अध्ययन करना है, जो ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए गणित के इस खंड के तरीकों के उपयोग पर आधारित है। और भौतिकी; साथ ही इन कार्यों को कंप्यूटर पर लागू करना (MATLAB पैकेज का उपयोग करके)।

परिणामस्वरूप, हम कह सकते हैं कि किसी वैकल्पिक पाठ्यक्रम के विषय और उद्देश्य का इतना बड़ा, गैर-विशिष्ट सूत्रीकरण इसे स्कूल में लागू करना संभव बनाता है। बीजगणित और विश्लेषण के स्कूल पाठ्यक्रम में, पाठ्यक्रम "भौतिक और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए अंतर और अभिन्न कलन का अनुप्रयोग" का उद्देश्य निश्चित अभिन्न का अध्ययन करना है।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में विषय का स्थान .

वैकल्पिक पाठ्यक्रम "भौतिक और ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए अभिन्न कलन का अनुप्रयोग" ग्यारहवीं कक्षा में बीजगणित और प्रारंभिक विश्लेषण पाठ्यक्रम की सामग्री को गहरा करता है और स्कूल गणित पाठ्यक्रम में शामिल विषयों पर सामग्री के व्यावहारिक समेकन के अवसरों को प्रकट करता है। ये विषय हैं "किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न", बीजगणित में "निश्चित अभिन्न अंग", और ज्यामिति और भौतिकी में कुछ विषय। परिणामस्वरूप, यह वैकल्पिक पाठ्यक्रम ज्यामिति, कंप्यूटर विज्ञान और भौतिकी के साथ बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के अंतःविषय संबंध को लागू करता है।

ज्यामिति और भौतिकी में मूल तत्वों के बीजगणित के प्रतिबिंब की प्रकृति और वैज्ञानिक ज्ञान में गणितीय मॉडलिंग की भूमिका के बारे में छात्रों के सही विचारों का विकास उन्हें कंप्यूटर पर विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने और कल्पना करने से परिचित कराने से होता है। वैकल्पिक पाठ्यक्रम की प्रस्तुति गणितीय और इंजीनियरिंग गणना के MATLAB पैकेज के संस्करण 6.1 की मुख्य क्षमताओं पर आधारित है, जो अब कई विश्वविद्यालयों में उच्च गणित, संख्यात्मक विश्लेषण और अन्य शैक्षिक पाठ्यक्रमों के अध्ययन का समर्थन करने का एक मानक साधन बन गया है। छात्रों को MATLAB सिस्टम कर्नेल और इसके एक्सटेंशन पैकेज SymbolicMathToolbox द्वारा प्रदान की गई संख्यात्मक और प्रतीकात्मक गणना, प्रोग्रामिंग और परिणामों के विज़ुअलाइज़ेशन की बुनियादी क्षमताओं से परिचित कराया जाता है।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम की बुनियादी अवधारणाएँ: निश्चित अभिन्न, वक्र लंबाई, क्षेत्रफल, क्रांति की सतह, बेलनाकार सतह, शरीर का आयतन, आदि।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के उद्देश्य.

1. शैक्षिक: "निश्चित इंटीग्रल" विषय पर व्यावहारिक सुदृढीकरण का संचालन करें, छात्रों को गणितीय और इंजीनियरिंग गणना MATLAB 6.1 के पैकेज से परिचित कराएं, ज्यामिति, कंप्यूटर विज्ञान और भौतिकी के साथ गणितीय विश्लेषण के अंतःविषय संबंध के कार्यान्वयन का वर्णन करें।

2. शिक्षक:कंप्यूटर का उपयोग करके कठिन समस्याओं को हल करके, विश्वदृष्टि और गणित के गहन अध्ययन के माध्यम से कई व्यक्तिगत गुणों को विकसित करके छात्रों के सफल पेशेवर आत्मनिर्णय के लिए परिस्थितियाँ बनाना।

3. विकासात्मक:छात्रों के क्षितिज को व्यापक बनाना, गणितीय सोच विकसित करना, विषय में सक्रिय संज्ञानात्मक रुचि बनाना, छात्रों के पेशेवर हितों को विकसित करना, स्वतंत्र और अनुसंधान कौशल विकसित करना, छात्रों के प्रतिबिंब को विकसित करना (भविष्य की व्यावसायिक गतिविधियों के लिए आवश्यक उनके झुकाव और क्षमताओं के बारे में जागरूकता)।

कार्यक्रम:

क्षुद्रग्रह का निर्माण

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

एच=300; चित्र('इकाइयां','पिक्सेल','स्थिति',

xlabel('x'); ylabel('y');

अक्ष([-3, 3, -3, 3]);

घूर्णन की % सतह

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

मेशग्रिड(t,v);

सेट(एचचित्रा,"रंग",);

सेट(hAxes,"रंग",);

xlabel('x'); ylabel('y'); ज़्लाबेल('z');

hPlot=प्लॉट(X,Y);

सेट(hPlot,"LineWidth",5)

सेट(hPlot,"रंग",)

कार्य 5. ध्रुवीय निर्देशांक में बर्नौली लेम्निस्केट का निर्माण करें: .

कार्यक्रम:

p=0:pi/60:2*pi के लिए

यदि 2*a^2*cos(2*p)>=0

सेट(एचचित्रा,"रंग",);

एचपी=ध्रुवीय(पीएचआई,आर);

सेट(एचपी,"लाइनविड्थ",2);

परिणाम (चित्र 17):

कार्य 6. MATLAB में संख्यात्मक और प्रतीकात्मक गणनाओं का उपयोग करते हुए, खोजें: ए) एक निश्चित अभिन्न अंग; बी) डबल इंटीग्रल; ग) सतह अभिन्न (पहली तरह का)।

ए) संख्यात्मक विश्लेषण की शास्त्रीय समस्या निश्चित अभिन्नों की गणना करने की समस्या है। निश्चित अभिन्नों की गणना के लिए सभी तरीकों में से, सबसे सरल, लेकिन साथ ही काफी सफलतापूर्वक उपयोग किया जाने वाला, ट्रैपेज़ॉइडल विधि है। MATLAB इस विधि के लिए एक फ़ंक्शन प्रदान करता है: ट्रैपज़(x,y) (एडिट ट्रैपज़ कमांड आपको इस फ़ंक्शन का टेक्स्ट प्रदर्शित करने की अनुमति देता है)। एक-आयामी सरणी x (वेक्टर) में इंटीग्रैंड के तर्कों के अलग-अलग मान होते हैं। इन बिंदुओं पर इंटीग्रैंड के मान एक-आयामी सरणी y में केंद्रित हैं। सबसे अधिक बार, एकीकरण के लिए एक समान ग्रिड चुना जाता है, अर्थात, सरणी तत्वों x के मान एक दूसरे से समान मात्रा में दूरी पर होते हैं - एकीकरण चरण। इंटीग्रल की गणना की सटीकता एकीकरण चरण के आकार पर निर्भर करती है: यह चरण जितना छोटा होगा, सटीकता उतनी ही अधिक होगी।

कार्य 7. विभिन्न एकीकरण चरणों के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके अभिन्न की गणना करें (दशमलव बिंदु के बाद 14 दशमलव अंकों का निरीक्षण करने के लिए, आपको पहले फॉर्मेटलॉन्ग कमांड दर्ज करना और निष्पादित करना होगा)।

कार्यक्रम: परिणाम:

functiont=ट्रैप(dx)

y=sin(x).*exp(-x);

t=trapz(x,y); >> प्रारूप लंबा

उत्तर = 0.42255394026468

>> जाल(0.1)

उत्तर = 0.50144886299125

>> ट्रैप(0.01)

उत्तर = 0.50226667654901

>> जाल(0.001)

उत्तर = 0.50227485744814

ट्रैपेज़ॉइडल विधि एक बहुत ही बहुमुखी विधि है और उन कार्यों को एकीकृत करने के लिए उपयुक्त है जो बहुत सुचारू नहीं हैं। यदि अभिन्न चिह्न के तहत कार्य सुचारू है (कई प्रथम व्युत्पन्न मौजूद हैं और निरंतर हैं), तो सटीकता के उच्च क्रम के एकीकरण तरीकों का उपयोग करना बेहतर है। समान एकीकरण चरण के लिए, सटीकता के उच्च क्रम के तरीके अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करते हैं।

MATLAB प्रणाली में, सटीकता के उच्च क्रम की एकीकरण विधियों को फ़ंक्शन क्वाड (सिम्पसन की विधि) और क्वाड 8 (सटीकता के 8 वें क्रम की न्यूटन-कोट्स विधि) द्वारा कार्यान्वित किया जाता है। ये दोनों तरीके भी हैं अनुकूली. उत्तरार्द्ध का मतलब है कि उपयोगकर्ता को विभिन्न एकीकरण चरणों के अनुरूप क्रमिक मूल्यों की तुलना करके परिणाम की प्राप्त सटीकता को नियंत्रित करने की आवश्यकता नहीं है। ये सभी कार्य स्वतंत्र रूप से किये जाते हैं।

क्वाड8 फ़ंक्शन में क्वाड फ़ंक्शन की तुलना में सटीकता का उच्च क्रम है, जो सुचारू कार्यों के लिए बहुत अच्छा है, क्योंकि यह बड़े एकीकरण चरण (कम कटौती) के साथ परिणाम की उच्च सटीकता प्रदान करता है। हालाँकि, क्वाड फ़ंक्शन उन कार्यों के लिए कम या उससे भी तेज़ नहीं हो सकता है जो बहुत सुचारू नहीं हैं (दूसरा या तीसरा डेरिवेटिव असंतत या पूर्ण मूल्य में बड़ा है)। किसी भी स्थिति में, ये दोनों फ़ंक्शन डिफ़ॉल्ट रूप से 0.001 के बराबर परिणाम की समान सापेक्ष सटीकता प्रदान करते हैं।

कई अन्य MATLAB फ़ंक्शंस की तरह, क्वाड और क्वाड8 फ़ंक्शंस अलग-अलग संख्या में पैरामीटर ले सकते हैं। इन फ़ंक्शंस को कॉल करने के लिए न्यूनतम प्रारूप में तीन पैरामीटर शामिल हैं: इंटीग्रैंड का नाम, निचली एकीकरण सीमा और ऊपरी एकीकरण सीमा। यदि चौथे पैरामीटर का उपयोग किया जाता है, तो यह गणना परिणाम की आवश्यक सापेक्ष सटीकता है। वैसे, यदि ये दोनों अनुकूली कार्य आवश्यक सटीकता (अपसारी या उसके करीब अभिन्न) प्रदान नहीं कर सकते हैं, तो वे प्रतीकात्मक अनंत जानकारी लौटाते हैं।

प्रतीकात्मक विधियों का उपयोग करके निश्चित अभिन्नों की गणना करने के लिए, आप दो समाधान विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं: सीधे या चरणों में (प्रतीकात्मक संख्याओं के प्रतिस्थापन के साथ)।

कार्य 8. निश्चित समाकलन की गणना करें।

कार्यक्रम: परिणाम:

a1=sym('0'); b1=sym('2');

% विधि 1: प्रतीकात्मक संख्या प्रतिस्थापन के साथ कार्य करना

प्रतीक=int(w,'t',a,b)

प्रतीक2ए=उप(प्रतीक,,)

संख्या=वीपीए(प्रतीक2ए)

% विधि 2: प्रतीकात्मक संख्याओं के साथ कार्य करना

प्रतीक2बी=int(w,"t",a1,b1) प्रतीक =

2.6666666666666666667

समस्या 9. एस्ट्रोइड को अपनी धुरी के चारों ओर घुमाने से प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना करें बैल : . (कार्य 2 में दिखाई गई सतह) .

कार्यक्रम: परिणाम:

t1=sym('0'); t2=sym('pi/2'); a=sym('1');

x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;

f=y.*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);

प्रतीक=सरलीकरण(int(4*pi*f,"t",t1,t2))

संख्या=वीपीए(प्रतीक) प्रतीक=

बी) दोहरे इंटीग्रल को दोहराए गए निश्चित इंटीग्रल की गणना में घटा दिया जाता है, जिनमें से एक आंतरिक और दूसरा बाहरी होता है। आंतरिक अभिन्न अंग बाहरी अभिन्न का अभिन्न अंग है। संख्यात्मक गणनाओं के लिए, गणनाओं की कुछ श्रृंखला लिखना संभव होगा जिसमें इंटीग्रैंड की बार-बार की गई गणना क्वाड फ़ंक्शन में कई कॉलों तक कम हो जाएगी। हालाँकि, इसे स्वयं करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि MATLAB के पास इसके लिए एक विशेष कार्य है, dblquad।

समस्या 8. अभिन्न की गणना करें , कहाँ ।

कार्यक्रम:

परिणाम:

फ़ंक्शन z=fof(x,y)

z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> प्रारूप लंबा

>> dblquad("fof",0,1,1,2)

1.16777110966887

समस्या 9. प्रतीकात्मक गणनाओं का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित अभिन्न अंग प्राप्त करें , , , , , कहाँ ।

कार्यक्रम:

z=sym("x*sin(y)+y*sin(x)");

i2=int(z,"x",0,1)

i3=int(int(z,"x"),"y")

i4=int(int(z,"x",1,2),"y",0,1)

i5=int(int(x+y,"y",x,1),"x",0,1) i1 =

1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x)

1/2*sin(y)-y*cos(1)+y

1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x)

1/2*cos(2)-cos(1)+3/2

चूँकि प्रतीकात्मक गणनाएँ गणना पद्धति में त्रुटियाँ उत्पन्न नहीं करती हैं और स्वयं अधिक सटीक होती हैं, आप देख सकते हैं कि dblquad फ़ंक्शन 7वें दशमलव स्थान तक सटीक परिणाम देता है।

ग) उच्च गणित से यह ज्ञात होता है कि कई अन्य प्रकार के इंटीग्रल, उदाहरण के लिए, पहली तरह का सतही इंटीग्रल, को निश्चित और दोहरे इंटीग्रल में घटाया जा सकता है। चूंकि इसे खोजने के लिए अभिन्न चिह्न के अंतर्गत विभेदन का उपयोग किया जाता है, इसलिए संख्यात्मक गणना का उपयोग करना गलत है।

समस्या 10. पहली तरह के सतह अभिन्न अंग की गणना करें: , कहां एस- पहले अष्टक में स्थित समतल का भाग (प्रमेय 2 के अनुसार)।

कार्यक्रम: परिणाम:

मज़ा=उप(f2,z,f1)

d=1+diff(f1,x)^2+diff(f1,y)^2

सिम्स X1 x2 y1 y2

intpov1=int(int(fun*sqrt(d),"y",y1,y2),"x",x1,x2)

संख्या=vpa(intpov1) मज़ा =

समस्या 11. पहली तरह के सतह अभिन्न अंग की गणना करें , कहाँ एस- गोला (प्रमेय 3 के अनुसार)।

सबसे पहले, आइए एक फ़ंक्शन बनाएं जो उस सतह का वर्णन करता है जिस पर एकीकरण होता है:

फ़ंक्शन =पीओवी;

सिम्स एक्स वाई जेड यू वी ए

x=a*sin(u)*cos(v);

y=a*sin(u)*sin(v);

कार्यक्रम:

सिम्स एक्स वाई जेड यू वी ए

f=sym("x^2+y^2");

E=diff(x0,"u")^2+diff(y0,"u")^2+diff(z0,"u")^2;

G=diff(x0,"v")^2+diff(y0,"v")^2+diff(z0,"v")^2;

F=diff(x0,"u")*diff(x0,"v")+diff(y0,"u")*

diff(y0,"v")+diff(z0,"u")*diff(z0,"v");

W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,,);

सिम्स यू1 यू2 वी1 वी2

intpov=p*int(int(f2,"v",v1,v2),"u",u1,u2)

intpov2=सरलीकरण(intpov)

संख्या=vpa(intpov2)

int=subs(intpov2,a,b) intpov =

4/3*a^2*pi*(a^4)^(1/2)*4^(1/2)

8/3*a^4*pi*csgn(a^2)

8.377580412*ए^4*सीएसजीएन(ए^2)

टिप्पणी। सीएसजीएन फ़ंक्शन MATLAB विशिष्ट है। इसे उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज नहीं किया जा सकता है और यह केवल सरलीकरण फ़ंक्शन (प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना) के साथ काम करते समय होता है। उदाहरण के लिए:

>>सिम्स ए टी

>> t=csgn(a^2)*a^2

अपरिभाषित फ़ंक्शन या वेरिएबल "csgn"।

>> सरल बनाएं((a^4)^(1/2))

>> सरल बनाएं((a^8)^(1/4))

>> सरल बनाएं((a^9)^(1/3))

1. अनुफ्रीव, आई.ई. ट्यूटोरियल मैटलैब 5.3/6.x / I.E. अनुफ़्रिएव। - सेंट पीटर्सबर्ग: बीएचवी-पीटर्सबर्ग, 2002. - 736 पी।

2. बर्मन, जी.एन. गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम के लिए समस्याओं का संग्रह / जी.एन. बर्मन, आई.जी. अरामनोविक, ए.एफ. बर्मेंट एट अल। - एम.: नौका, 1966. - 456 पी।

3. बरमेन्ट, ए.एफ. कॉलेज के छात्रों के लिए गणितीय विश्लेषण में लघु पाठ्यक्रम / ए.एफ. बरमेन्ट, आई.जी. अरामनोविक. - एम.: नौका, 1966. - 736 पी।

4. गुल्तयेव, ए. मैटलैब वातावरण में दृश्य मॉडलिंग / ए. गुल्तयेव। - सेंट पीटर्सबर्ग: पीटर, 2001. - 553 पी।

5. डेमिडोविच, बी.पी. कॉलेजों के लिए गणितीय विश्लेषण में समस्याएं और अभ्यास / बी.पी. डेमिडोविच, जी.एस. बारानेंकोव, वी.ए. एफिमेंको एट अल। - एम.: नौका, 1966. - 472 पी।

6. लाज़रेव, यू.एफ. मैटलैब 5.x / यू.एफ. लाज़रेव। - कीव: बीएचवी, 2000. - 388 पी।

7. मार्टीनोव, एन.एन. मैटलैब 5.x: गणना, विज़ुअलाइज़ेशन, प्रोग्रामिंग / एन.एन. मार्टीनोव, ए.पी. इवानोव। - एम.: कुदित्स-ओब्राज़, 2000. - 336 पी।

8. कुरिनॉय, जी.सी.एच. गणित: हैंडबुक / जी.सी.एच. मुर्गा। - खार्कोव: फोलियो; रोस्तोव-ऑन-डॉन: फीनिक्स, 1997. - 463 पी।

9. पिस्कुनोव, एन.एस. 2 खंडों में कॉलेजों के लिए विभेदक और अभिन्न कलन / एन.एस. पिस्कुनोव। - एम.: नौका, 1966. - 2 खंड - 312 पी।

10. फ़िख्तेनगोल्ट्स, जी.एम. 3 खंडों में डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस का कोर्स / जी.एम. फ़िचटेनहोल्ट्ज़। - एम.: स्टेट पब्लिशिंग हाउस ऑफ फिजिकल एंड मैथमेटिकल लिटरेचर, 1959. - खंड 1-3।

11. वेबसाइटें http://www/informika.ru, htt://www.softline.ru, http://matlab.ru।

अपना अच्छा काम नॉलेज बेस में भेजना आसान है। नीचे दिए गए फॉर्म का उपयोग करें

छात्र, स्नातक छात्र, युवा वैज्ञानिक जो अपने अध्ययन और कार्य में ज्ञान आधार का उपयोग करते हैं, आपके बहुत आभारी होंगे।

विषय पर सार: "अभिन्न और इसका अनुप्रयोग"

छात्राएं

शहद। कॉलेज

№2 203 समूह

कुलिकोवा मारिया

सेंट पीटर्सबर्ग 2010

परिचय

इंटीग्रल प्रतीक 1675 में पेश किया गया था, और इंटीग्रल कैलकुलस के प्रश्नों का अध्ययन 1696 से किया जा रहा है। हालाँकि इंटीग्रल का अध्ययन मुख्य रूप से गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, भौतिकविदों ने भी इस विज्ञान में अपना योगदान दिया है। लगभग कोई भी भौतिकी सूत्र अंतर और अभिन्न कलन के बिना नहीं चल सकता। इसलिए, मैंने अभिन्न और उसके अनुप्रयोग का पता लगाने का निर्णय लिया।

इंटीग्रल कैलकुलस का इतिहास

अभिन्न की अवधारणा का इतिहास चतुर्भुज खोजने की समस्याओं से निकटता से जुड़ा हुआ है। प्राचीन ग्रीस और रोम के गणितज्ञों ने क्षेत्रों की गणना करने के लिए एक विशेष सपाट आकृति के चतुर्भुज पर समस्याएं बुलाईं। लैटिन शब्द क्वाड्रैटुरा का अनुवाद "वर्ग बनाना" है। एक विशेष शब्द की आवश्यकता को इस तथ्य से समझाया गया है कि प्राचीन काल में (और बाद में, 18वीं शताब्दी तक), वास्तविक संख्याओं के बारे में विचार अभी तक पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। गणितज्ञों ने अपने ज्यामितीय एनालॉग्स, या अदिश मात्राओं के साथ काम किया, जिन्हें गुणा नहीं किया जा सकता। इसलिए, क्षेत्रों को खोजने के लिए समस्याओं को तैयार करना होगा, उदाहरण के लिए, इस तरह: "दिए गए वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं।" (जैसा कि हम जानते हैं, यह शास्त्रीय समस्या "वृत्त का वर्ग करने पर" कम्पास और रूलर की मदद से हल नहीं की जा सकती।)

प्रतीक टी को लाइबनिज़ (1675) द्वारा पेश किया गया था। यह चिन्ह लैटिन अक्षर S (शब्द summ a का पहला अक्षर) का एक संशोधन है। इंटीग्रल शब्द का आविष्कार जे. बर्नौली (1690) ने किया था। यह संभवतः लैटिन इंटीग्रो से आया है, जिसका अनुवाद पिछली स्थिति में लाना, पुनर्स्थापित करना है। (वास्तव में, एकीकरण का संचालन उस फ़ंक्शन को "पुनर्स्थापित" करता है जिसे अलग करके इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था।) शायद इंटीग्रल शब्द की उत्पत्ति अलग है: पूर्णांक शब्द का अर्थ संपूर्ण है।

पत्राचार के दौरान, आई. बर्नौली और जी. लीबनिज जे. बर्नौली के प्रस्ताव से सहमत हुए। उसी समय, 1696 में, गणित की एक नई शाखा का नाम सामने आया - इंटीग्रल कैलकुलस (कैलकुलस इंटीग्रलिस), जिसे आई. बर्नौली ने पेश किया था।

इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित अन्य प्रसिद्ध शब्द बहुत बाद में सामने आए। अब उपयोग में आने वाले नाम "प्रिमिटिव फ़ंक्शन" ने पहले के "प्रिमिटिव फ़ंक्शन" का स्थान ले लिया है, जिसे लैग्रेंज (1797) द्वारा पेश किया गया था। लैटिन शब्द प्राइमिटिवस का अनुवाद "प्रारंभिक" के रूप में किया गया है: एफ(एक्स) = एम एफ(एक्स)डीएक्स - एफ (एक्स) के लिए प्रारंभिक (या मूल, या एंटीडेरिवेटिव), जो विभेदन द्वारा एफ(एक्स) से प्राप्त किया जाता है।

आधुनिक साहित्य में, फलन f(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चितकालीन समाकलन भी कहा जाता है। इस अवधारणा पर लाइबनिज ने प्रकाश डाला, जिन्होंने देखा कि सभी प्रतिअवकलन फलन एक मनमाना स्थिरांक b द्वारा भिन्न होते हैं, जिसे एक निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है (पदनाम सी. फूरियर (1768-1830) द्वारा पेश किया गया था, लेकिन यूलर ने पहले ही एकीकरण की सीमाओं का संकेत दिया था)।

समतल आकृतियों के चतुर्भुज (अर्थात् क्षेत्रफलों की गणना) और साथ ही पिंडों के घन (आयतन की गणना) खोजने की समस्याओं को हल करने में प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों की कई महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ, कनिडस के यूडॉक्सस (सी) द्वारा प्रस्तावित थकावट विधि के उपयोग से जुड़ी हैं। 408 - सी. 355 ई.पू.)। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग करके, यूडोक्सस ने साबित किया कि दो वृत्तों के क्षेत्रफल उनके व्यास के वर्गों के रूप में संबंधित हैं, और एक शंकु का आयतन समान आधार और ऊंचाई वाले सिलेंडर के आयतन के 1/3 के बराबर है।

यूडोक्सस की पद्धति में आर्किमिडीज़ द्वारा सुधार किया गया। आर्किमिडीज़ की विधि को दर्शाने वाले मुख्य चरण: 1) यह सिद्ध है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके चारों ओर वर्णित किसी भी नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल से कम है, लेकिन किसी भी उत्कीर्ण के क्षेत्रफल से अधिक है; 2) यह सिद्ध हो गया है कि भुजाओं की संख्या के असीमित दोगुने होने से, इन बहुभुजों के क्षेत्रफलों में अंतर शून्य हो जाता है; 3) किसी वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, वह मान ज्ञात करना बाकी है जिस ओर एक नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल का अनुपात तब जाता है जब उसकी भुजाओं की संख्या असीमित रूप से दोगुनी हो जाती है।

थकावट विधि और कई अन्य सरल विचारों (यांत्रिकी मॉडल के उपयोग सहित) का उपयोग करके, आर्किमिडीज़ ने कई समस्याओं का समाधान किया। उन्होंने संख्या पी (3.10/71) का अनुमान दिया

आर्किमिडीज़ ने इंटीग्रल कैलकुलस के कई विचारों का अनुमान लगाया था। (हम जोड़ते हैं कि व्यवहार में सीमाओं पर पहले प्रमेय उनके द्वारा सिद्ध किए गए थे।) लेकिन इन विचारों को स्पष्ट अभिव्यक्ति मिलने और कैलकुलस के स्तर पर लाने में डेढ़ हजार साल से अधिक समय लग गया।

17वीं शताब्दी के गणितज्ञों ने, जिन्होंने कई नए परिणाम प्राप्त किए, आर्किमिडीज़ के कार्यों से सीखा। एक अन्य विधि का भी सक्रिय रूप से उपयोग किया गया - अविभाज्य की विधि, जिसकी उत्पत्ति भी प्राचीन ग्रीस में हुई थी (यह मुख्य रूप से डेमोक्रिटस के परमाणुवादी विचारों से जुड़ी है)। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड (छवि 1, ए) की कल्पना की, जो लंबाई f(x) के ऊर्ध्वाधर खंडों से बना है, जिसके लिए, फिर भी, उन्होंने अनंत मान f(x)dx के बराबर एक क्षेत्र सौंपा। इस समझ के अनुसार, आवश्यक क्षेत्रफल को योग के बराबर माना गया

असीम रूप से छोटे क्षेत्रों की एक अनंत बड़ी संख्या। कभी-कभी इस बात पर भी जोर दिया जाता था कि इस योग में अलग-अलग पद शून्य होते हैं, लेकिन एक विशेष प्रकार के शून्य होते हैं, जो एक अनंत संख्या में जोड़े जाने पर, एक अच्छी तरह से परिभाषित सकारात्मक योग देते हैं।

ऐसे प्रतीत होने वाले कम से कम संदिग्ध आधार पर, जे. केप्लर (1571-1630) ने अपने लेखन "न्यू एस्ट्रोनॉमी" में कहा।

1609 और "वाइन बैरल्स की स्टीरियोमेट्री" (1615) ने कई क्षेत्रों (उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्त से घिरी आकृति का क्षेत्र) और आयतन (शरीर को 6 बारीक पतली प्लेटों में काटा गया था) की सही गणना की। ये अध्ययन इतालवी गणितज्ञ बी. कैवलियरी (1598-1647) और ई. टोरिसेली (1608-1647) द्वारा जारी रखा गया था। बी कैवलियरी द्वारा तैयार किया गया सिद्धांत, कुछ अतिरिक्त मान्यताओं के तहत उनके द्वारा पेश किया गया, हमारे समय में अपना महत्व बरकरार रखता है।

मान लीजिए कि चित्र 1, बी में दिखाए गए चित्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, जहां ऊपर और नीचे से चित्र को सीमित करने वाले वक्रों के समीकरण हैं

y = f(x) और y=f(x)+c.

कैवेलियरी की शब्दावली में "अविभाज्य" से बनी एक आकृति की कल्पना करते हुए, अनंत पतले स्तंभ, हम देखते हैं कि उन सभी की कुल लंबाई c है। उन्हें ऊर्ध्वाधर दिशा में ले जाकर, हम उन्हें आधार बी-ए और ऊंचाई सी के साथ एक आयत में बना सकते हैं। इसलिए, आवश्यक क्षेत्रफल परिणामी आयत के क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात।

एस = एस1 = सी (बी - ए)।

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों के लिए कैवेलियरी का सामान्य सिद्धांत इस प्रकार तैयार किया गया है: मान लीजिए कि समांतरों के एक निश्चित बंडल की रेखाएं आकृतियों Ф1 और Ф2 को समान लंबाई के खंडों के साथ काटती हैं (चित्र 1, सी)। तब आकृतियों F1 और F2 का क्षेत्रफल बराबर है।

एक समान सिद्धांत स्टीरियोमेट्री में काम करता है और वॉल्यूम खोजने में उपयोगी है।

17वीं सदी में इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित कई खोजें की गईं। इस प्रकार, पी. फ़र्मेट ने 1629 में ही किसी वक्र y = xn के चतुर्भुज की समस्या हल कर ली थी, जहाँ n एक पूर्णांक है (अर्थात, उन्होंने अनिवार्य रूप से सूत्र m xndx = (1/n+1)xn+1 प्राप्त किया), और इस आधार पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को खोजने के लिए कई समस्याओं का समाधान किया गया। I. केप्लर ने, ग्रहों की गति के अपने प्रसिद्ध नियमों को प्रतिपादित करते समय, वास्तव में अनुमानित एकीकरण के विचार पर भरोसा किया। न्यूटन के शिक्षक, आई. बैरो (1630-1677), एकीकरण और विभेदीकरण के बीच संबंध को समझने के करीब आये। कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करने का कार्य बहुत महत्वपूर्ण था।

हालाँकि, 17वीं शताब्दी के कई अत्यंत आविष्कारी गणितज्ञों द्वारा प्राप्त परिणामों के महत्व के बावजूद, कैलकुलस अभी तक अस्तित्व में नहीं था। कई विशिष्ट समस्याओं के समाधान में अंतर्निहित सामान्य विचारों को उजागर करना, साथ ही भेदभाव और एकीकरण के संचालन के बीच संबंध स्थापित करना आवश्यक था, जो एक काफी सामान्य एल्गोरिदम देता है। यह न्यूटन और लीबनिज द्वारा किया गया था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से एक तथ्य की खोज की थी जिसे न्यूटन-लीबनिज सूत्र के नाम से जाना जाता है। इस प्रकार, अंततः सामान्य पद्धति का निर्माण हुआ। उसे अभी भी सीखना था कि कई कार्यों के प्रतिअवकलन कैसे खोजें, नई तार्किक गणना कैसे करें, आदि। लेकिन मुख्य बात पहले ही हो चुकी है: अंतर और अभिन्न कलन बनाया गया है।

गणितीय विश्लेषण के तरीके अगली शताब्दी में सक्रिय रूप से विकसित हुए (सबसे पहले, एल. यूलर के नाम का उल्लेख किया जाना चाहिए, जिन्होंने प्राथमिक कार्यों के एकीकरण का एक व्यवस्थित अध्ययन पूरा किया, और आई. बर्नौली)। रूसी गणितज्ञ एम.वी. ने इंटीग्रल कैलकुलस के विकास में भाग लिया। ओस्ट्रोग्रैडस्की (1801-1862), वी.वाई.ए. बुनाकोवस्की (1804-1889), पी.एल. चेबीशेव (1821-1894)। मौलिक महत्व के, विशेष रूप से, चेबीशेव के परिणाम थे, जिन्होंने साबित किया कि ऐसे अभिन्न अंग हैं जिन्हें प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

समग्र सिद्धांत की एक कठोर प्रस्तुति पिछली शताब्दी में ही सामने आई। इस समस्या का समाधान महानतम गणितज्ञों में से एक ओ. कॉची, जर्मन वैज्ञानिक बी. रीमैन (1826-1866) और फ्रांसीसी गणितज्ञ जी. डार्बौक्स (1842-1917) के नाम से जुड़ा है।

क्षेत्रफलों और आकृतियों के आयतन के अस्तित्व से संबंधित कई प्रश्नों के उत्तर सी. जॉर्डन (1838-1922) द्वारा माप के सिद्धांत के निर्माण के साथ प्राप्त किए गए थे।

इंटीग्रल की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हमारी सदी की शुरुआत में ही फ्रांसीसी गणितज्ञ ए. लेब्सग्यू (1875-1941) और ए. डेनजॉय (188 4-1974), सोवियत गणितज्ञ ए.या. द्वारा प्रस्तावित किए गए थे। खिन्चिनचिन (1894-1959)।

अभिन्न की परिभाषा और गुण

यदि F(x) अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के प्रतिअवकलन में से एक है, तो इस अंतराल पर प्रतिअवकलन का रूप F(x)+C है, जहां COR है।

परिभाषा। अंतराल J पर फ़ंक्शन f(x) के सभी प्रतिअवकलजों के सेट को इस अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) का निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है और इसे m f(x)dx द्वारा दर्शाया जाता है।

t f(x)dx = F(x)+C,

जहां F(x) अंतराल J पर कुछ प्रतिअवकलन है।

एफ - इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, एफ (एक्स) - इंटीग्रैंड अभिव्यक्ति, एक्स - एकीकरण चर, सी - एकीकरण स्थिरांक।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण.

(t f(x)dx) ў = t f(x)dx,

t f(x)dx = F(x)+C, जहां F ў(x) = f(x)

(t f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

t f ў(x)dx = f(x)+C - परिभाषा से।

t k f (x)dx = k t fў(x)dx

यदि k एक स्थिरांक है और F ў(x)=f(x),

t k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k t fў(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t dx = t ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= t f(x)dx + t g(x)dx +...+ t h(x)dx, जहां C=C1+C2+C3+...+Cn.

एकीकरण

सारणीबद्ध विधि.

प्रतिस्थापन विधि.

यदि इंटीग्रैंड एक टेबल इंटीग्रल नहीं है, तो इस पद्धति को लागू करना संभव है (हमेशा नहीं)। ऐसा करने के लिए आपको चाहिए:

इंटीग्रैंड को दो कारकों में विभाजित करें;

नए चर के कारकों में से एक को नामित करें;

दूसरे कारक को एक नये चर के माध्यम से व्यक्त कर सकेंगे;

एक अभिन्न का निर्माण करें, उसका मान ज्ञात करें और विपरीत प्रतिस्थापन करें।

ध्यान दें: नए वेरिएबल को उस फ़ंक्शन के रूप में नामित करना बेहतर है जो शेष अभिव्यक्ति से जुड़ा हुआ है।

1. t xTs(3x2-1)dx;

मान लीजिए 3x2-1=t (tі0), दोनों पक्षों का अवकलज लें:

y dt 1 1 y 1 1 t 2 2 1 ---Ш

f- t 2 = - f t 2dt = - --- + C = -C 3x2-1 +C

t पाप x cos 3x dx = t - t3dt = - - + C

मान लीजिए cos x = t

किसी समाकलन को योग या अंतर में बदलने की विधि:

t पाप 3x cos x dx = 1/2 t (sin 4x + पाप 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

y x4+3x2+1 y 1 1

φ dx = φ(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - आर्कटान x + C

x x2+1 x x2+1 3

नोट: इस उदाहरण को हल करते समय, "कोण" द्वारा बहुपद बनाना अच्छा होता है।

खंड में। यदि अभिन्न को किसी दिए गए रूप में लेना असंभव है, लेकिन साथ ही, एक कारक का प्रतिअवकलन और दूसरे का व्युत्पन्न ज्ञात करना बहुत आसान है, तो आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

(u(x)v(x))"=u"(x)v(x)+u(x)v(x)

u"(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v"(x)

t u"(x)v(x)dx=t (u(x)v(x))"dx - t u(x)v"(x)dx

t u"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - t u(x)v"(x)dx

टी एक्स कॉस (एक्स) डीएक्स = टी एक्स डीसिन एक्स = एक्स सिन एक्स - टी सिन एक्स डीएक्स = एक्स सिन एक्स + कॉस एक्स + सी

वक्ररेखीय समलम्बाकार

परिभाषा। एक सतत, स्थिर-चिह्न फ़ंक्शन f(x), भुज अक्ष और सीधी रेखाओं x=a, x=b के ग्राफ़ से घिरी एक आकृति को वक्ररेखीय समलम्बाकार कहा जाता है।

घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियाँ

प्रमेय. यदि f(x) खंड पर एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है, तो संबंधित वक्रीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र एंटीडेरिवेटिव्स की वृद्धि के बराबर है।

दिया गया: f(x) - निरंतर अनिश्चित काल। फ़ंक्शन, एक्सओ।

सिद्ध करें: S = F(b) - F(a), जहां F(x) f(x) का प्रतिअवकलज है।

सबूत:

1) सहायक फलन S(x) पर विचार करें। आइए हम प्रत्येक xO को वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का वह भाग निर्दिष्ट करें जो इस भुज वाले बिंदु से गुजरने वाली और कोटि अक्ष के समानांतर सीधी रेखा (चित्र 2) के बाईं ओर स्थित है।

इसलिए S(a)=0 और S(b)=Str

आइए हम सिद्ध करें कि S(a), f(x) का प्रतिअवकलन है।

डी(एफ) = डी(एस) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), Dx®0 DS के साथ - आयत

Dx®0 भुजाओं Dx और f(x0) के साथ

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): चूँकि x0 एक बिंदु है, तो S(x) -

Dx®0 Dx®0, f(x) का प्रतिअवकलन है।

इसलिए, प्रतिअवकलन के सामान्य रूप पर प्रमेय के अनुसार, S(x)=F(x)+C.

क्योंकि S(a)=0, तो S(a) = F(a)+C

एस = एस(बी)=एफ(बी)+सी = एफ(बी)-एफ(ए)

1). आइए खंड को n बराबर भागों में विभाजित करें। विभाजन चरण (चित्र 3)

डीएक्स=(बी-ए)/एन। इस मामले में, Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+... +f (xn))

n®Ґ के लिए हम पाते हैं कि Sр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

इस योग की सीमा को निश्चित समाकलन कहा जाता है।

सीमा से नीचे के योग को अभिन्न योग कहा जाता है।

एक निश्चित अभिन्न अंग n®Ґ पर एक खंड पर अभिन्न योग की सीमा है। इस अंतराल में किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन को विभाजित करके प्राप्त खंड की लंबाई के उत्पादों के योग की सीमा के रूप में अभिन्न योग प्राप्त किया जाता है।

ए एकीकरण की निचली सीमा है;

बी - शीर्ष.

न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्रों की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं:

यदि F, b के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो

t f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

एक निश्चित अभिन्न के गुण.

t f(x)dx = t f(z)dz

t f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

यदि a, b और c अंतराल I के कोई बिंदु हैं जिन पर सतत फलन f(x) का एक प्रतिअवकलन है, तो

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

एफ(बी) - एफ(ए) = एफ(सी) - एफ(ए) + एफ(बी) - एफ(सी) = एफ(बी) - एफ(ए)

(यह एक निश्चित अभिन्न अंग की additiveity संपत्ति है)

यदि l और m स्थिर मात्राएँ हैं, तो

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

यह एक निश्चित समाकलन का रैखिकता गुण है।

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (ए)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

मानक चित्रों का एक सेट (चित्र 4, 5, 6, 7, 8)

चावल। 4 अंजीर. 5

चावल। 6 चित्र. 7

क्योंकि एफ(एक्स)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

यह आवश्यक है: OX अक्ष के सापेक्ष फ़ंक्शन की समरूपता पर विचार करें। एबीसीडी®ए"बी"सीडी बी

S(ABCD)=S(A"B"CD) = m -f(x)dx

S= t f(x)dx = t g(x)dx

S = t (f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

t (f(x)- g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= m (f(x)+m-g(x)-m)dx =

टी (एफ(एक्स)- जी(एक्स))डीएक्स

यदि खंड f(x)ig(x) पर है, तो इन ग्राफ़ के बीच का क्षेत्र बराबर है

t ((f(x)-g(x))dx

फलन f(x) और g(x) मनमाना और गैर-नकारात्मक हैं

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

अभिन्न का अनुप्रयोग

भौतिकी में.

बल का कार्य (ए=एफस्कोसा, कोसा नंबर 1)

यदि किसी कण पर बल F कार्य करता है, तो गतिज ऊर्जा स्थिर नहीं रहती है। इस मामले में, के अनुसार

समय dt के साथ एक कण की गतिज ऊर्जा में वृद्धि अदिश उत्पाद Fds के बराबर होती है, जहाँ ds समय dt के साथ कण की गति है। परिमाण

बल F द्वारा किया गया कार्य कहलाता है।

मान लीजिए कि बिंदु एक बल के प्रभाव में OX अक्ष के साथ चलता है, जिसका OX अक्ष पर प्रक्षेपण एक फ़ंक्शन f(x) (f-निरंतर फ़ंक्शन) है। बल के प्रभाव में, बिंदु बिंदु S1(a) से S2(b) पर चला गया। आइए खंड को समान लंबाई Dx = (b - a)/n के n खंडों में विभाजित करें। बल द्वारा किया गया कार्य परिणामी खंडों पर बल द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होगा। क्योंकि f(x) सतत है, तो छोटे के लिए इस खंड पर बल द्वारा किया गया कार्य f(a)(x1-a) के बराबर है। इसी प्रकार, दूसरे खंड f(x1)(x2-x1) पर, nवें खंड पर - f(xn-1)(b-xn-1)। इसलिए कार्य इसके बराबर है:

ए » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f (xn-1))

अनुमानित समानता n®Ґ के समान सटीक हो जाती है

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= m f(x)dx (परिभाषा के अनुसार)

मान लीजिए कठोरता C और लंबाई l के एक स्प्रिंग को उसकी लंबाई की आधी लंबाई तक संपीड़ित किया जाता है। इसके संपीड़न के दौरान स्प्रिंग की लोच -F(s) द्वारा किए गए कार्य A के बराबर स्थितिज ऊर्जा Ep का मान निर्धारित करें, फिर

ईपी = ए= - टी (-एफ(एस)) डीएक्स

यांत्रिकी पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि F(s) = -Cs।

यहां से हम पाते हैं

Ep= - t (-Cs)ds = CS2/2 | = सी/2 एल2/4

उत्तर:Cl2/8.

द्रव्यमान निर्देशांक का केंद्र

द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण का परिणामी बल शरीर की किसी भी स्थानिक व्यवस्था के लिए गुजरता है।

मान लें कि एक सामग्री सजातीय प्लेट ओ में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का आकार है (x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)) और फ़ंक्शन y=f(x) निरंतर है, और इस घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र बराबर है एस, तो प्लेट ओ के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं:

x0 = (1/S) t x f(x) dx; y0 = (1/2S) t f 2(x) dx;

सेंटर ऑफ मास

त्रिज्या R के एक सजातीय अर्धवृत्त के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात कीजिए।

आइए OXY समन्वय प्रणाली में एक अर्धवृत्त बनाएं (चित्र 9)।

समरूपता और समरूपता के कारणों से, हम ध्यान दें कि बिंदु एम का भुज

अर्धवृत्त का वर्णन करने वाले फ़ंक्शन का रूप इस प्रकार है:

मान लीजिए S = pR2/2 अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है

y = (1/2S) TC(R2-x2)dx = (1/pR2) TC(R2-x2)dx = -R -R

आर = (1/पीआर2)(आर2एक्स-एक्स3/3)|= 4आर/3पी

उत्तर: एम(0; 4आर/3पी)

पथ एक भौतिक बिंदु द्वारा यात्रा की गई

यदि कोई भौतिक बिंदु गति u=u(t) के साथ सीधी गति से चलता है और समय T= t2-t1 (t2>t1) के दौरान यह पथ S से गुजर चुका है, तो

ज्यामिति में

आयतन एक स्थानिक पिंड की एक मात्रात्मक विशेषता है। 1 मिमी (1di, 1m, आदि) के किनारे वाले एक घन को आयतन माप की एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

किसी दिए गए पिंड में रखे गए इकाई आयतन के घनों की संख्या पिंड का आयतन है।

आयतन के अभिगृहीत:

आयतन एक गैर-ऋणात्मक मात्रा है।

किसी पिंड का आयतन उसे बनाने वाले पिंडों के आयतन के योग के बराबर होता है।

आइए आयतन की गणना के लिए एक सूत्र खोजें (चित्र 10):

इस पिंड के स्थान की दिशा में OX अक्ष चुनें;

हम OX के सापेक्ष शरीर के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करेंगे;

आइए एक सहायक फ़ंक्शन S(x) का परिचय दें जो निम्नलिखित पत्राचार को निर्दिष्ट करता है: खंड से प्रत्येक x के लिए हम इस आकृति के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र को OX अक्ष के लंबवत दिए गए बिंदु x से गुजरने वाले विमान के साथ जोड़ते हैं।

आइए खंड को n बराबर भागों में विभाजित करें और विभाजन के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से हम OX अक्ष पर लंबवत एक विमान खींचते हैं, और हमारा शरीर भागों में विभाजित हो जाएगा। स्वयंसिद्ध के अनुसार

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, और Sk®Sk+1, और दो आसन्न विमानों के बीच संलग्न भाग की मात्रा सिलेंडर Vc=SmainH की मात्रा के बराबर है।

हमारे पास विभाजन चरण द्वारा विभाजन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के उत्पादों का योग है, अर्थात। अभिन्न योग. एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा के अनुसार, n®Ґ के रूप में इस योग की सीमा को अभिन्न a कहा जाता है

V= t S(x)dx, जहां S(x) गुजरने वाले विमान का खंड है

b, OX अक्ष के लंबवत चयनित बिंदु।

आपके लिए आवश्यक वॉल्यूम ढूंढने के लिए:

1). सुविधाजनक तरीके से OX अक्ष का चयन करें।

2). अक्ष के सापेक्ष इस पिंड के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करें।

3). OX अक्ष के लंबवत और संबंधित बिंदु से गुजरने वाले विमान के साथ इस शरीर के एक खंड का निर्माण करें।

4). किसी दिए गए अनुभाग के क्षेत्र को व्यक्त करने वाले फ़ंक्शन को ज्ञात मात्राओं के रूप में व्यक्त करें।

5). एक अभिन्न रचना करें.

6). समाकलन की गणना करने के बाद आयतन ज्ञात कीजिए।

घूर्णन आंकड़ों का आयतन

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी समतल आकृति के घूर्णन के परिणामस्वरूप प्राप्त पिंड को घूर्णन आकृति कहा जाता है।

घूर्णन आकृति का फलन S(x) एक वृत्त है।

Ssec(x)=p f 2(x)

समतल वक्र की चाप लंबाई

मान लीजिए कि खंड पर फलन y = f(x) का एक सतत अवकलज y" = f "(x) है। इस मामले में, फ़ंक्शन y = f(x), xO के ग्राफ़ के "टुकड़े" की चाप लंबाई l को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

एल = एम Ts(1+f"(x)2)dx

ग्रन्थसूची

1. एम.या. विलेनकिन, ओ.एस. इवाशेव-मुसातोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ड, "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण", मॉस्को, 1993।

2. "गणितीय विश्लेषण पर समस्याओं का संग्रह", मॉस्को, 1996।

3. आई.वी. सेवलीव, "सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम", खंड 1, मॉस्को, 1982।

4. इस कार्य को तैयार करने के लिए साइट http://referatovbank.ru/ से सामग्री का उपयोग किया गया

समान दस्तावेज़

प्राचीन गणितज्ञों के कार्यों में अभिन्न कलन के विचार। थकावट विधि की विशेषताएं. केपलर टोरस के आयतन का सूत्र खोजने का इतिहास। इंटीग्रल कैलकुलस (कैवलियरी का सिद्धांत) के सिद्धांत का सैद्धांतिक औचित्य। एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा.

प्रस्तुति, 07/05/2016 को जोड़ा गया

इंटीग्रल कैलकुलस का इतिहास. डबल इंटीग्रल की परिभाषा और गुण. इसकी ज्यामितीय व्याख्या, कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक में गणना, इसे दोहराव तक कम कर देती है। आयतन और क्षेत्रफल की गणना के लिए अर्थशास्त्र और ज्यामिति में अनुप्रयोग।

कोर्स वर्क, 10/16/2013 जोड़ा गया

एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा, उसके गुण। वक्र के चाप की लंबाई. एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल. घूर्णन का सतह क्षेत्र. आकृतियों के क्षेत्रफल समीकरणों द्वारा दी गई रेखाओं से घिरे फलन के ग्राफ़ से घिरे हुए हैं। पिंडों के आयतन की गणना.

परीक्षण, 02/10/2017 जोड़ा गया

"अभिन्न" और अभिन्न कलन की अवधारणा के उद्भव का इतिहास, इसकी विशेषताएं और महत्व। फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए इंटीग्रल मुख्य उपकरणों में से एक है। सभी भौतिक घटनाओं को गणितीय सूत्र के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता का औचित्य।

प्रस्तुति, 05/19/2014 को जोड़ा गया

निर्देशांक पर एक वक्ररेखीय समाकलन की परिभाषा, इसके मूल गुण और गणना। एकीकरण के पथ से वक्रीय अभिन्न अंग की स्वतंत्रता के लिए शर्त। दोहरे समाकलन का उपयोग करके आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करना। ग्रीन के सूत्र का उपयोग करना।

परीक्षण, 02/23/2011 को जोड़ा गया

अभिन्नों की गणना के तरीके. अनिश्चितकालीन अभिन्न के सूत्र और सत्यापन। एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल. अनिश्चित, निश्चित और जटिल अभिन्न। इंटीग्रल के बुनियादी अनुप्रयोग. निश्चित एवं अनिश्चित समाकलन का ज्यामितीय अर्थ।

प्रस्तुति, 01/15/2014 को जोड़ा गया

घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या का समाधान। एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा और गुण. इंटीग्रेबिलिटी और डार्बौक्स मानदंड के लिए आवश्यक शर्त। सतत और नीरस कार्यों की एकीकरणीयता। न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का प्रमाण।

परीक्षण, 03/25/2011 जोड़ा गया

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना। किसी फ़ंक्शन का निश्चित अभिन्न अंग ढूँढना। किसी वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का निर्धारण, वक्रों के बीच घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल। परिक्रमण पिंडों के आयतन की गणना। किसी फ़ंक्शन के अभिन्न योग की सीमा. सिलेंडर के आयतन का निर्धारण.

प्रस्तुति, 09/18/2013 को जोड़ा गया

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा, क्षेत्र की गणना, एक पिंड का आयतन और चाप की लंबाई, स्थैतिक क्षण और वक्र का गुरुत्वाकर्षण केंद्र। आयताकार घुमावदार क्षेत्रफल के मामले में क्षेत्रफल की गणना। वक्ररेखीय, सतही और त्रिक समाकलनों का अनुप्रयोग।

पाठ्यक्रम कार्य, 05/19/2011 जोड़ा गया

इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस का इतिहास। यांत्रिकी और भौतिकी में कुछ समस्याओं के समाधान के लिए एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुप्रयोग। समतल वक्रों के क्षण और द्रव्यमान के केंद्र, गुल्डेन प्रमेय। विभेदक समीकरण। मैटलैब में समस्याओं को हल करने के उदाहरण.

इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण को प्राचीन मिस्र में जाना जाता था। बेशक, अपने आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन फिर भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। विशेष रूप से प्रतिष्ठित न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। प्रारंभ से अभिन्नों को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण की बुनियादी बातों के बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होगी। हमारे ब्लॉग पर इंटीग्रल को समझने के लिए आवश्यक के बारे में पहले से ही जानकारी है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

चलो कुछ समारोह करते हैं एफ(एक्स) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .

दूसरे शब्दों में, समाकलन विपरीत या प्रतिअवकलन में व्युत्पन्न है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।

सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में रखना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

छात्रों के लिए अभिन्नों की पूरी तालिका

समाकलन परिभाषित करें

अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। इंटीग्रल एक आकृति के क्षेत्र, एक गैर-समान शरीर का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान तय की गई दूरी और बहुत कुछ की गणना करने में मदद करेगा। यह याद रखना चाहिए कि एक पूर्णांक अनंत रूप से बड़ी संख्या में अतिसूक्ष्म पदों का योग है।

उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।

बारी अलीबासोव और समूह "इंटीग्रल"

वैसे! हमारे पाठकों के लिए अब 10% की छूट है

डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।

इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:

योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है। यह अंतर के लिए भी सत्य है:

एक निश्चित अभिन्न के गुण

रैखिकता:

यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:

पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हमारा सुझाव है कि आप स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाएं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। छात्रों के लिए एक पेशेवर सेवा से संपर्क करें, और एक बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपके अधिकार में होगा।

I. भौतिकी में

बल का कार्य

(ए=एफएसकोस, कॉस 1)

बल F द्वारा किया गया कार्य कहलाता है।

बल द्वारा किया गया कार्य परिणामी खंडों पर बल द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होगा। क्योंकि f(x) सतत है, तो छोटे के लिए इस खंड पर बल द्वारा किया गया कार्य बराबर होता है

इसी प्रकार, दूसरे खंड f(x1)(x2-x1) पर, nवें खंड पर --

f(xn-1)(b-xn-1).

इसलिए कार्य इसके बराबर है:

और An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

अनुमानित समानता n के समान सटीक हो जाती है

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (परिभाषा के अनुसार)

ईपी = ए= - (-एफ(एस)) डीएक्स

यांत्रिकी के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है

यहां से हम पाते हैं

Ep= - (-Cs)ds = CS2/2 | = सी/2 एल2/4

उत्तर:Cl2/8.

स्प्रिंग को 4 सेमी तक खींचने के लिए कितना काम करना होगा, यदि यह ज्ञात हो कि 1 N के भार के तहत यह 1 सेमी तक खिंचता है?

हुक के नियम के अनुसार, स्प्रिंग को x द्वारा खींचने वाला बल X N बराबर होता है

हम स्थिति से आनुपातिकता गुणांक k पाते हैं: यदि x = 0.01 m, तो X = 1 N, इसलिए, k = 1/0.01 = 100 और X = 100x। तब

उत्तर: A=0.08 J

एक क्रेन का उपयोग करके, 5 मीटर गहरी नदी के तल से एक प्रबलित कंक्रीट खोखला हटा दिया जाता है यदि खोखले में 1 मीटर के किनारे के साथ एक नियमित टेट्राहेड्रोन का आकार हो तो क्या कार्य होगा? प्रबलित कंक्रीट का घनत्व 2500 kg/m3 है, पानी का घनत्व 1000 kg/m3 है।

चतुष्फलक की ऊँचाई

चतुष्फलकीय आयतन

आर्किमिडीज़ बल की क्रिया को ध्यान में रखते हुए, पानी में छेद का वजन बराबर होता है

आइए अब पानी से गॉज निकालते समय ऐ का कार्य खोजें। मान लीजिए चतुष्फलक का शीर्ष 5+y की ऊंचाई तक पहुंचता है, तो पानी से निकलने वाले छोटे चतुष्फलक का आयतन बराबर होता है, और चतुष्फलक का भार होता है:

इस तरह,

अतः A=A0+A1=7227.5 J + 2082.5 J = 9310 J = 9.31 kJ

उत्तर: ए=9.31 (जे)।

लंबाई a और चौड़ाई b (a>b) की एक आयताकार प्लेट किस दबाव बल का अनुभव करती है यदि यह तरल की क्षैतिज सतह पर कोण b पर झुकी हुई है और इसका बड़ा भाग गहराई h पर है?

द्रव्यमान निर्देशांक का केंद्र

मान लें कि एक सामग्री सजातीय प्लेट ओ में एक वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का आकार है (x;y |axb; 0yf(x)) और फ़ंक्शन

पर निरंतर है, और इस घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र एस के बराबर है, तो प्लेट ओ के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

त्रिज्या R के एक सजातीय अर्धवृत्त के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात कीजिए।

आइए OXY समन्वय प्रणाली में एक अर्धवृत्त बनाएं।

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

उत्तर: एम(0; 4आर/3).

पहली तिमाही में स्थित दीर्घवृत्त चाप x=acost, y=bsint और निर्देशांक अक्षों से घिरी आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करें।

पहली तिमाही में, जैसे-जैसे x 0 से a तक बढ़ता है, t का मान p/2 से घटकर 0 हो जाता है, इसलिए

दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर S=рab, हम पाते हैं

पथ एक भौतिक बिंदु द्वारा यात्रा की गई

यदि कोई भौतिक बिंदु गति =(t) और समय के साथ सीधी रेखा में चलता है

टी= t2-t1 (t2>t1)

फिर पथ S से गुजरा

ज्यामिति में

आयतन एक स्थानिक पिंड की एक मात्रात्मक विशेषता है। 1 मिमी (1 डीएम, 1 मीटर, आदि) के किनारे वाले एक घन को आयतन माप की एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

किसी दिए गए पिंड में रखे गए इकाई आयतन के घनों की संख्या पिंड का आयतन है।

आयतन के अभिगृहीत:

आयतन एक गैर-ऋणात्मक मात्रा है।

किसी पिंड का आयतन उसे बनाने वाले पिंडों के आयतन के योग के बराबर होता है।

आइए आयतन की गणना के लिए एक सूत्र खोजें:

इस पिंड के स्थान की दिशा में OX अक्ष चुनें;

हम OX के सापेक्ष शरीर के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करेंगे;

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

और दो आसन्न तलों के बीच घिरे हिस्से का आयतन सिलेंडर के आयतन Vc=SmainH के बराबर है।

हमारे पास विभाजन चरण द्वारा विभाजन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के उत्पादों का योग है, अर्थात। अभिन्न योग. एक निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार, इस योग की n के रूप में सीमा को समाकलन कहा जाता है

जहां S(x) OX अक्ष के लंबवत चयनित बिंदु से गुजरने वाले विमान का खंड है।

आपके लिए आवश्यक वॉल्यूम ढूंढने के लिए:

1) सुविधाजनक तरीके से OX अक्ष का चयन करें।
2) अक्ष के सापेक्ष इस पिंड के स्थान की सीमाएँ निर्धारित करें।
3) OX अक्ष के लंबवत और संबंधित बिंदु से गुजरने वाले विमान के साथ इस शरीर के एक खंड का निर्माण करें।
4) ज्ञात मात्राओं के माध्यम से किसी दिए गए अनुभाग के क्षेत्र को व्यक्त करने वाले फ़ंक्शन को व्यक्त करें।
5) एक अभिन्न अंग लिखें।
6) समाकलन की गणना करने के बाद आयतन ज्ञात कीजिए।

एक त्रिअक्षीय दीर्घवृत्त का आयतन ज्ञात कीजिए

xOz तल के समानांतर और उससे y=h की दूरी पर स्थित एक दीर्घवृत्त के समतल खंड एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करते हैं

योजना

1. अभिन्न कलन का इतिहास.

2. अभिन्न की परिभाषा और गुण.

3. वक्ररेखीय समलम्बाकार।

4. निश्चित अभिन्न के गुण.

5. मानक चित्रों का एक सेट.

6. अभिन्न का अनुप्रयोग.

इंटीग्रल कैलकुलस का इतिहास

अभिन्न की अवधारणा का इतिहास चतुर्भुज खोजने की समस्याओं से निकटता से जुड़ा हुआ है। प्राचीन ग्रीस और रोम के गणितज्ञों ने क्षेत्रों की गणना करने के लिए एक विशेष सपाट आकृति के चतुर्भुज पर समस्याएं बुलाईं। लैटिन शब्द क्वाड्रैटुरा का अनुवाद "वर्ग बनाना" है। एक विशेष शब्द की आवश्यकता को इस तथ्य से समझाया गया है कि प्राचीन काल में (और बाद में, 18वीं शताब्दी तक), वास्तविक संख्याओं के बारे में विचार अभी तक पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। गणितज्ञों ने अपने ज्यामितीय एनालॉग्स, या अदिश मात्राओं के साथ काम किया, जिन्हें गुणा नहीं किया जा सकता। इसलिए, क्षेत्रों को खोजने के लिए समस्याओं को तैयार करना होगा, उदाहरण के लिए, इस तरह: "दिए गए वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं।" (यह क्लासिक समस्या "वृत्त का वर्ग करने के बारे में"

सर्कल" को, जैसा कि ज्ञात है, कम्पास और रूलर का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।)

प्रतीक ò को लीबनिज़ (1675) द्वारा पेश किया गया था। यह चिन्ह लैटिन अक्षर S (सुम्मा शब्द का पहला अक्षर) का एक संशोधन है। इंटीग्रल शब्द स्वयं जे. बर्नुल्ली (1690) द्वारा गढ़ा गया था। यह संभवतः लैटिन इंटीग्रो से आया है, जिसका अनुवाद पिछली स्थिति में लाना, पुनर्स्थापित करना है। (वास्तव में, एकीकरण का संचालन उस फ़ंक्शन को "पुनर्स्थापित" करता है जिसे अलग करके इंटीग्रैंड प्राप्त किया गया था।) शायद इंटीग्रल शब्द की उत्पत्ति अलग है: पूर्णांक शब्द का अर्थ संपूर्ण है।

इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित अन्य प्रसिद्ध शब्द बहुत बाद में सामने आए। अब उपयोग में आने वाला नाम, प्रिमिटिव फ़ंक्शन, पहले के "आदिम फ़ंक्शन" का स्थान लेता है, जिसे लैग्रेंज (1797) द्वारा पेश किया गया था। लैटिन शब्द प्राइमिटिवस का अनुवाद "प्रारंभिक" के रूप में किया गया है: F(x) = ò f(x)dx - f(x) के लिए प्रारंभिक (या मूल, या एंटीडेरिवेटिव), जो विभेदन द्वारा F(x) से प्राप्त किया जाता है।

आधुनिक साहित्य में, फलन f(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चितकालीन समाकलन भी कहा जाता है। इस अवधारणा पर लाइबनिज ने प्रकाश डाला था, जिन्होंने कहा था कि सभी प्रतिअवकलन फलन एक मनमाने स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं। बी

इसे एक निश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है (पदनाम सी. फूरियर (1768-1830) द्वारा पेश किया गया था, लेकिन एकीकरण की सीमाएँ पहले से ही यूलर द्वारा इंगित की गई थीं)।

समतल आकृतियों के चतुष्कोण (अर्थात, क्षेत्रफल की गणना) और साथ ही पिंडों के घन (आयतन की गणना) खोजने की समस्याओं को हल करने में प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों की कई महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ, कनिडस के यूडॉक्सस द्वारा प्रस्तावित थकावट विधि के उपयोग से जुड़ी हैं। 408 - सी. 355 ई.पू.)। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग करके, यूडोक्सस ने साबित किया कि दो वृत्तों के क्षेत्रफल उनके व्यास के वर्गों के रूप में संबंधित हैं, और एक शंकु का आयतन समान आधार और ऊंचाई वाले सिलेंडर के आयतन के 1/3 के बराबर है।

17वीं शताब्दी के गणितज्ञों ने, जिन्होंने कई नए परिणाम प्राप्त किए, आर्किमिडीज़ के कार्यों से सीखा। एक अन्य विधि का भी सक्रिय रूप से उपयोग किया गया - अविभाज्य की विधि, जिसकी उत्पत्ति भी प्राचीन ग्रीस में हुई थी (यह मुख्य रूप से डेमोक्रिटस के परमाणुवादी विचारों से जुड़ी है)। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड (चित्र 1, ए) की कल्पना की, जो लंबाई f(x) के ऊर्ध्वाधर खंडों से बना है, जिसके लिए उन्होंने फिर भी अनंत मान f(x)dx के बराबर एक क्षेत्र सौंपा। इस समझ के अनुसार, आवश्यक क्षेत्रफल को योग के बराबर माना गया

(1609) और "वाइन बैरल्स की स्टीरियोमेट्री" (1615) ने कई क्षेत्रों (उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्त से घिरी आकृति का क्षेत्र) और आयतन (शरीर को 6 बारीक पतली प्लेटों में काटा गया था) की सही गणना की। ये अध्ययन इतालवी गणितज्ञ बी. कैवलियरी (1598-1647) और ई. टोरिसेली (1608-1647) द्वारा जारी रखा गया था। बी कैवलियरी द्वारा तैयार किया गया सिद्धांत, कुछ अतिरिक्त मान्यताओं के तहत उनके द्वारा पेश किया गया, हमारे समय में अपना महत्व बरकरार रखता है।

मान लें कि चित्र 1,बी में दिखाए गए चित्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, जहां ऊपर और नीचे की आकृति को घेरने वाले वक्रों में समीकरण y = f(x) और y=f(x)+c हैं।

एस = एस1 = सी (बी - ए)।

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों के लिए कैवलियरी का सामान्य सिद्धांत इस प्रकार तैयार किया गया है: मान लीजिए कि समांतरों की एक निश्चित पेंसिल की रेखाएँ समान लंबाई के खंडों के साथ आकृतियों Ф1 और Ф2 को काटती हैं (चित्र 1c)। तब आकृतियों F1 और F2 का क्षेत्रफल बराबर है।

17वीं सदी में इंटीग्रल कैलकुलस से संबंधित कई खोजें की गईं। इस प्रकार, पी. फ़र्मेट ने 1629 में ही किसी वक्र y = xn के चतुर्भुज की समस्या हल कर ली थी, जहाँ n एक पूर्णांक है (अर्थात, उन्होंने अनिवार्य रूप से सूत्र ò xndx = (1/n+1)xn+1) निकाला, और इस आधार पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को खोजने के लिए कई समस्याओं का समाधान किया गया। I. केप्लर ने, ग्रहों की गति के अपने प्रसिद्ध नियमों को प्रतिपादित करते समय, वास्तव में अनुमानित एकीकरण के विचार पर भरोसा किया। न्यूटन के शिक्षक, आई. बैरो (1630-1677), एकीकरण और विभेदीकरण के बीच संबंध को समझने के करीब आये। कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करने का कार्य बहुत महत्वपूर्ण था।