Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе. Касательные напряжения при поперечном изгибе
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (5).
Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной (рис. 6.28,а ).
Рис. 6.28
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б ). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади распределены равномерно, используя условие , получим:
где - равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента в пределах заштрихованной площади :
С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде
где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.28,б эта область заштрихована). Следовательно, (15) можно переписать в виде
В результате совместного рассмотрения (13) и (16) получим
или окончательно
Полученная формула (17) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Условие прочности по касательным напряжениям:
где -максимальное значение поперечной силы в сечении; - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.28,г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz , т.е. по оси z ; по вертикальной оси - dy , т.е. по оси у ; по оси х - равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (5), а касательные напряжения - по формуле Д.И. Журавского (17). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь и , соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.28,г ), получим:
откуда будем иметь:
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
Определим ориентацию площадки, т.е. значение , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:
Предполагая , получим:
Откуда окончательно будем иметь:
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными , а сами напряжения - главными напряжениями.
Сопоставляя выражения и , имеем:
откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы ,
определим главные напряжения, выражая из через и :
Продольное
усилие
При выводе расчетных формул для определения нормального напряжения, делается следующее предположение: продольная ось не меняет своей длинны при изгибе, продольные линии изгибаются по радиусу. Контуры поперечных сечений плоские до нагружения остаются плоскими и после нагружения; линии контура сечений всюду перпендикулярны продольной оси.
Существует слой, который не меняет своей длинны при изгибе- он называется нейтральным слоем.
При пересечении нейтрального слоя поперечным сечением, получаем нейтральную линию.
При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным силовой плоскости и значит нейтральная линия перпендикулярна к силовой линии сечения.
Выберем теперь двумя поперечными сечениями элемент балки длинной dx.
Относительная деформация волокна
равна разности между длинами волокон
Рассмотрим волокно a 0 b 0 , принадлежащее нормальному слою, его длина равняется отрезкуdx, после деформации отрезок превращается в дугуa 0 ’b 0 ’=
Волокно нейтрального слоя не меняет своей длины при деформации => dx=, подставляя это выражение в формулу для относительной деформации
по закону Гука, сравнивая эти выражения
=>,
здесь у- расстояние от нейтральной линии
до точки, где определяется это напряжение,
подставляя это выражение в выражение
для момента:
В
случаи поперечного изгиба расчет
нормальных напряжений производится по
той же формуле, что и для чистого изгиба,
поскольку разница в результатах
практически нулевая, а возникающее
касательное напряжение может достигать
больших величин, и определяется при
изгибе с помощью формул Журавского.
Определение касательного напряжения при поперечном изгибе
При поперечном сечении поперечные усилия Qи изгибающие моменты, возникает не только нормальное, но и касательное напряжение
Вывод формулы для определения касательных напряжений рассмотрим на балке с поперечным сечением
Эти предположения справедливы в том случае, если ширина сечения bзначительно меньше, чемh.
Отмечаем часть элемента балки проведя горизонтальную плоскость mmна расстоянии у от нейтральной линии
На гранях A 1 A 2 m 2 m 1 ,C 1 C 2 n 2 n 1 иA 1 A 2 C 2 C 1 напряжений никаких нет, т.к. эти грани являются частью наружной поверхности балки.
Необходимо
вычислить равнодействующую нормальных
напряжений распределенных по грани
A 1 C 1 m 1 n 1 на элементарную площадкуdF=bd, проведенную параллельно осиzна расстоянииот нее действует нормальная осевая сила
Стат момент площади, заключенной между уровнемYи наружным краем балки
Аналогично
на грани A 2 C 2 n 2 m 2 равнодействующая нормальных напряжений
отбудет равняться:
величина статического момента отсеченной плоскости будет такой же, как и в предыдущем выражении.
В грани n 1 n 2 m 1 m 2 действует нормальное напряжение, поскольку при поперечном изгибе волокна давят друг на друга, но этими напряжениями пренебрегают как несущественными для расчета на прочность.
Кроме того согласно закону парности касательных напряжений, возникают касательные напряжения в перпендикулярном направлении по ЗПКН
Т.к. длина грани n 1 n 2 m 1 m 2 мала, т.е. равнаdx, можно считать, что-равномерно распределены по этой грани.
Условие равновесия параллелепипеда: a 1 a 2 c 2 c 1 n 1 n 2 m 2 m 1
Если
разделить полученное равенство на bdx,
то:
- Формула Журавского,
Которая позволяет определить величину касательного напряжения при поперечном изгибе на любом уровне поперечного сечения
При поперечном изгибе в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и перерезывающая сила . Следовательно, в поперечном сечении действуют нормальные σ и касательные напряжения τ. По закону о парности касательных напряжений последние возникают также и в продольных сечениях, вызывая сдвиги волокон относительно друг друга и нарушая гипотезу плоских сечений, принятую для чистого изгиба. В результате плоские сечения под нагрузкой искривляются . Схема деформаций и силовые факторы в сечении стержня при поперечном изгибе. Однако в случаях, когда больший размер сечения в несколько раз меньше длины стержня, сдвиги невелики и гипотезу плоских сечений распространяют на поперечный изгиб. Поэтому нормальные напряжения при поперечном изгибе также вычисляют по формулам чистого изгиба . Касательные напряжения в длинных стержнях (l>2h) существенно меньше нормальных. Поэтому их в расчетах стержней на изгиб не учитывают, а расчет на прочность при поперечном изгибе производится только по нормальным напряжениям, как при чистом изгибе.
111 Сложные виды деформаций стержней.(без одного рисунка)
В
общем случае на стержень одновременно
могут действовать продольные и поперечные
нагрузки. Если предположить сочетание
косого изгиба с осевым растяжением или
сжатием, то такое нагружение приводит
к появлению в поперечных сечениях
стержня изгибающих моментовM y
и M z ,
поперечных сил Q y
и Q z
и продольной силы N.
В сечении В
консольного
стержня будут действовать следующие
силовые факторы: M y =F z x;
M z =F y x;
Q z =F z ;
Q y =F y ;
N=F x .
Нормальное напряжение, вызываемое
растягивающей силой F x ,
во всех поперечны х сечениях стержня
одинаково и равномерно распределяется
по сечению. Это напряжение определяется
по формуле: σ p =F x /A,
где А – площадь поперечного сечения
стержня. Применяя принцип независимости
действия сил(с учетом формулы), получим
следующее соотношение для определения
нормального напряжения в произвольной
точке С: σ=N/A+M z z/J z +M z y/J z .
Пользуясь этой формулой, можно определить
наибольшее напряжение σ max ,
в данном поперечном сечении
σ max =N/A+M y /W y +M z /W z .
Условие прочностной надежности по
допускаемым напряжениям в этом случае
имеет вид σ ma ≤ [σ].
Внецентренное
растяжение (сжатие).
При
внецентренном растяжении (сжатии)
стержня равнодействующая внешних сил
не совпадает с осью бруса, а смещена
относительно оси x.
Этот случай нагружения в расчетном
отношении подобен изгибу с растяжением.
В произвольном поперечном сечении
стержня будут действовать внутренние
силовые факторы: M y =Fz B ;
Mz B =Fy B ;
N=F,
где z B
и y B
- координаты точки приложения силы.
Напряжения в точках поперечных сечений
можно определить по тем же формулам.
Кручение с
изгибом.
Некоторые
элементы конструкций работают в условиях
кручения и изгиба. Например, валы
зубчатой передачи от сил в зацеплении
зубьев F 1 =F 2
передают крутящие и изгибающие моменты.
В результате в поперечном сечении
будут
действовать нормальные и касательные
напряжения: σ=M y z/J y ;
τ=Tρ/J p ,
где M y
и Т - соответственно изгибающий и крутящий
моменты в сечении. (РИСУНОК НЕ ВСТАВЛЯЕТСЯ).
Наибольшие напряжения действующие в
периферийных точках С и С R
сечениях: σ max =M y /W y ;
τ max =T/W p =T/(2W y).
По главным напряжениям, используя одну
из рассмотренных выше теорий прочности,
определяют эквивалентное напряжение.
Так, на основании энергетической теории:
σ экв =√(σ 2 max +3
τ 2 max) .
116 Сдвиг, внутренние силовые факторы и деформация. (Без внутренние силовые факторы, деформация гавно какое то).
С
двиг-
вид деформации, когда в поперечных
сечениях стержня действует только
перерезывающая сила, а остальные силовые
факторы отсутствуют.
Сдвиг
соответствует действию на стержень
двух равных противоположно направленных
и бесконечно близко расположенных
поперечных сил,
вызывающих
срез по
плоскости, расположенной между силами
(как при разрезании ножницами прутков,
листов и т. п.). Срезу предшествует
деформация - искажение прямого угла
между двумя взаимно перпендикулярными
линиями. При этом на гранях выделенного
элемента возникают касательные
напряжения τ. Напряженное состояние,
при котором на гранях выделенного
элемента возникают только касательные
напряжения называется чистым
сдвигом
.
Величина а
называется
абсолютным
сдвигом,
угол
на который изменяются прямые углы
элемента, называют относительным
сдвигом,
tgγ≈γ=a/h.
Деформация. Если на боковую поверхность круглого стержня нанести сетку, то после закручивания можно обнаружить: образующие цилиндра обращаются
в винтовые линии большого шага; сечения круглые и плоские до деформации сохраняют свою форму, и после деформации; происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол, называемый углом закручивания; расстояния между поперечными сечениями практически не изменяются. На основании этих наблюдений принимают гипотезы, что: сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания; радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми. В соответствии с этим кручение стержня можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.
При поперечном изгибе наряду с изгибающим моментом в сечении действует поперечная сила, которая представляет собой равнодействующую касательных напряжений.
Следствием действия касательных напряжений является искажение формы поперечного сечения, что противоречит гипотезе плоских сечений. Во-первых, сечение может испытывать деплаиацшо, т.е. не остается плоским. Во-вторых, сечение после деформирования не остается перпендикулярным к изогнутой оси бруса.
Учет данных эффектов проводится в более сложных теориях изгиба стержней. Вместе с тем для большого количества инженерных задач полученные для чистого изгиба формулы могут быть обобщены на случай поперечного изгиба. Оценка пределов применимости данных формул и ответственность за полученный результат относятся к компетенции расчетчика.
Для определения значений нормальных напряжений при поперечном изгибе широко используется формула (5.10). Далее покажем, что в случае постоянной поперечной силы эта формула дает точный результат, а в случае переменной поперечной силы полученные для определения нормаль-
ных напряжений формулы лают погрешность порядка - где h - высота сечения; / - длина балки.
Для определения величины касательных напряжений рассмотрим элемент бруса длиной dx (рис. 5.8).
Рис. 5.8.
В нравом и левом сечениях элемента нормальные напряжения отличаются друг от друга на с/о, что обусловлено различием в значениях изгибающего момента на dM mr . Слагаемым, связанным с изменением т на длине dx, можно пренебречь как величиной высшего порядка малости.
Сделаем допущение: касательные напряжения в сечении направлены параллельно действующей в этом сечении перерезывающей силе Q.
Определим значения касательных напряжений в точках, отстоящих на расстояние у от нейтральной оси. Для этого отсечем плоскостью cd от элемента бруса длиной dx часть abed.
В сечении на высоте у действуют касательные напряжения т. В то же время в перпендикулярном к нему сечении, т.е. в плоскости, параллельной плоскости xz, в соответствии с законом парности касательных напряжений будут действовать такой же величины касательные напряжения.
Составим уравнение равновесия элемента, спроецировав для этого все действующие на этот элемент силы на направление оси х. Входящие в уравнение равновесия интегралы вычислим в пределах верхней части сечения А*:
В результате преобразований получим следующую формулу для вычисления касательных напряжений:
Согласно формуле (5.10) и учетом соотношения (5.3) найдем производную нормального напряжения:
и учтем это значение в выражении для касательного напряжения:
В результате получаем следующую формулу для вычисления касательных напряжений:
где Q - поперечная сила в сечении; S* - статический момент отсеченной части сечения площадью Л* относительно центральной оси; / изг - момент инерции сечения относительно центральной оси; h - ширина сечения в месте определения касательных напряжений.
Формула (5.21) носит название формулы Журавского К
Рассмотрим балку с прямоугольным поперечным сечением (рис. 5.9, а). Определим нормальные и касательные напряжения в опасном сечении. Опасным является сечение Л, в котором действует максимальный изгибающий момент М нзг = -Я Что касается поперечной силы, то ее значение в любом сечении бруса постоянно и равно -F.
Рис . 5.9.
Согласно формулам (5.15) и (5.20) определим значение максимального нормального напряжения:
‘Журавский Дмитрий Иванович (1828-1891) - русский ученый-механик и инженер, специалист в области мостостроения и строительной механики, первым решил задачу определения касательных напряжений при поперечном изгибе балки.
Вычислим величины, входящие в формулу (5.21):
В точке сечения, отстоящей на расстояние у от нейтральной оси, значение касательного напряжения равно
Максимальное напряжение возникает при у = 0 в волокнах, принадлежащих центральной оси 0т.
Это напряжение формально имеет отрицательное значение, но его знак можно не принимать во внимание, поскольку для расчета это неважно.
Оценим соотношение максимальных величин нормальных и касательных напряжений, возникающих в сечении балки:
Согласно расчетной схеме бруса полагается, что - 1. Из этого следует, что касательные напряжения имеют более высокий порядок малости по сравнению с нормальными напряжениями.
Обобщим оценку (5.24) для балки длиной / и характерным размером сечения а. При величине поперечной силы, равной F, изгибающий момент оценивается как М изг ~ FI. Для характерных значений осевого момента инерции сечения, статического момента части сечения и момента сопротивления изгибу получаем следующие оценки:
Следовательно, для максимальных нормального и касательного напряжений справедливы оценки
Окончательно получаем следующую оценку отношения максимальных касательных и нормальных напряжений:
Полученные для конкретного прямоугольного поперечного сечения оценки можно распространить и на случай произвольного сечения, с оговоркой, что поперечное сечение рассматривается как массивное. Для тонкостенных профилей приведенный выше вывод о возможности пренебрежения касательными напряжениями по сравнению с нормальными напряжениями справедлив не всегда.
Следует отметить, что при получении формулы (5.21) мы не были до конца последовательны и, проводя преобразования, допустили следующую погрешность. Л именно, формула для нормальных напряжений, которую мы использовали, была получена в предположении справедливости гипотезы плоских сечений, т.е. при отсутствии депланации поперечного сечения. Приложив к элементу касательные напряжения, мы допустили возможность искажения прямых углов, чем нарушили вышеупомянутую гипотезу. Поэтому полученные расчетные формулы носят приближенный характер. Эпюра касательных напряжений, показанная на рис. 5.9, б , объясняет характер искривления поперечных сечений балки при поперечном изгибе. В крайних точках касательные напряжения равны нулю, следовательно, соответствующие им волокна будут нормальными к верхней и нижней поверхностям балки. На нейтральной линии, где действуют максимальные касательные напряжения, будут иметь место максимальные сдвиговые деформации.
Вместе с тем отметим, что при постоянном в пределах участка значении поперечной силы искривление всех сечений будет одинаковым, следовательно, эффект искривления не будет отражаться на величине продольных деформаций растяжения и сжатия волокон, вызываемых изгибающим моментом.
Для поперечных сечений непрямоугольной формы дополнительные погрешности привносятся в формулу (5.21) по причине невыполнения принятых допущений о характере распределения касательных напряжений. Так, например, для круглого поперечного сечения касательные напряжения в точках у контура сечения должны быть направлены по касательной к контуру, а не параллельно поперечной силе Q. Это означает, что касательные напряжения должны обладать составляющими, действующими как вдоль оси г/, так и вдоль оси г.
Однако, несмотря на имеющиеся противоречия, полученные формулы дают вполне удовлетворительные результаты при проведении практических расчетов. Сопоставление значений касательных напряжений, определенных по формуле (5.21), с результатами, полученными точными методами, показывает, что ошибка в величине наибольшего касательного напряжения не превышает 5%, т.е. эта формула пригодна для проведения практических расчетов.
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от чистого изгиба в поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент М мзг и поперечная сила Q. Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (см. рис. 5.9, б), а наибольшие касательные напряжения имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно но нормальным и касательным напряжениям:
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l – длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (6.4).
Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dх (рис. 6.6 а ).
| а |
| б |
| в |
| г |
| А * |
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии z от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.6 в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.6 б ). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b ×dx распределены равномерно, используя условие åx = 0, получим:
N * - N * - d N * + t× b ×dx = 0 ,
. (6.5)
где N * - равнодействующая нормальных сил s×dA в левом поперечном сечении
элемента dx в пределах площади A * (рис. 6.6 г ):
. (6.6)
С учетом (6.4) последнее выражение можно представить в виде
, (6.7)
где 
- статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y
(на рис. 6.6 б эта область заштрихована).
Следовательно, (6.7) можно переписать в виде 
, откуда
. (6.8)
В результате совместного рассмотрения (6.7) и (6.8) получим
,
или окончательно
. (6.9)
Формула (6.9) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.6 г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси – dx , т.е. по оси x ; по вертикальной оси – dz , т.е. по оси z ; по оси y - равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (6.4), а касательные напряжения t – по формуле Д.И. Журавского (6.9). С учетом закона парности касательных напряжений легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s a и t a , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dA , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dA sin a и dA cos a соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.6 г ), получим:
,
откуда будем иметь:
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a 0 , при котором напряжение s a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s a от a и приравняем ее нулю:
.
Предполагая a = a
0 , получим: 
.
Откуда окончательно будем иметь: 
.
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными , а сами напряжения - главными напряжениями .
Сопоставляя выражения t a и 
, имеем: 
, откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы 
, определим главные напряжения, выражая из через s и t.